有限和无限的思想.docVIP

2010高考数学考点预测： 有限与无限的思想 一、考点介绍 1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题. 2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路. 3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题. 4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法. 5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视. 二、高考真题 1. (2008安徽卷，理，14)在数列在中，，，,其中为常数，则的值是 . 【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即)来解决新的极限问题. 【答案】由知，是公差为4的等差数列，故 ，解得，，从而. 2. (2005年福建卷，理，22) 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：. （Ⅰ）求当为何值时； （Ⅱ）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列； （Ⅲ）若，求的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个都可以得到一个有穷数列{an}的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个都成立的结果，通过有限次分析获得解决. 【答案】（Ⅰ） (Ⅱ) 解法一：,, 当时, , 当时,,, 当时,,. 一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列. 下面用数学归纳法证明. 当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列 假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中 ,则时,,, 由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中. 所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中 由(1),(2)知,对一切,命题都成立. 解法二： 故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列. （Ⅲ）即, 所以要使,当且仅当它的前一项满足. 由于,所以只须当时,都有 由,得, 解得. 3.（2008辽宁卷21）在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）. （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：． 【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项） ，可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题. 【答案】（Ⅰ）由条件得，由此可得 ．猜测． 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即， 那么当n=k+1时，, 所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知对一切正整数都成立． （Ⅱ）．n≥2时，由（Ⅰ）知． 故 . 综上，原不等式成立． 三、名校试题 1.（福建省泉州一中2008届高三毕业班第二次模拟检测，数学，22）数列中，， (为常数，) ，且 （1）求的值； （2）① 证明：； ② 猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较与的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项后可得的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果. 【答案】（Ⅰ）依题意， 由，得，解得，或（舍去）. （Ⅱ）① 证明：因为， 当且仅当时，.因为，所以，即 (). ② 数列有极限,且 . （Ⅲ）由，可得，从而. 因为，所以 所以 因为，由（Ⅱ）① 得 (). （*） 下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立. 当时，由，显然结论成立. 假设结论对时成立，即 因