(精品)暑期培优辅导专题四 勾股定理及逆定理的综合.docVIP

- PAGE 2 - 专题四 勾股定理及逆定理的综合 【知识概要】 1．勾股定理与逆定理 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法．综合应用勾殴定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题． 2.直角三角形的性质 (1)角的关系：两锐角互余． (2)边的关系：勾股定理． (3)边角关系：角所对的直角边等于斜边的一半． 这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用． 3．勾股定理及逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 掌握一些常见的基本图形： 4．折叠的常见基本图形 本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用 【典例探析】 一.勾股定理中方程思想的运用 例1 如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。 变式1 如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若AB=3，BC=4,求EC的长。 二、勾股定理中类比思想的运用 例2 如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 （1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) （2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明 三、勾股定理中整体思想的运用 例3 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=_____． 四、勾股逆定理的运用 例4 如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 变式2 △ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试判断△ABC是什么三角形。 五、利用勾股定理求最短路径问题 例5 有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，求它爬行的最短路程为多少？ 变式3 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ A A B C D L 【课后巩固】 一、选择题 1．直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ） A．6 B.8 C. D. 2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积为（ ） A.24cm B. 36cm C.48cm D.60cm 3.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ A.56 B.48 C.40 D.32 4.图17 -3—1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是( )． 5.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.下列说法错误的是（ ） A.∠C -∠B =∠A ，那么∠C=90° B.如果∠C=90°，则