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用配方法 解一元二次方程 人教版九年级上册 学习目标:1.理解一元二次方程“降次”的转化思想. 2.根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,然后迁移到解(mx+n)2=p(p≥0)型的一元二次方程. 解下列方程: 9x2=9 (x+5)2=9 16x2-13=3 (3x+2)2-49=0 2(3x+2)2=2 81(2x-5)2-16=0 知识准备 x1=1, x2=-1 x1=-2, x2=-8 x1=1, x2=-1 x1=-3, x2=5/3 x1=-3, x2=-1/3 x1=49/18, x2=41/18 一般地,对于形如x2=a(a≥0) 或(mx+n)2=a (a≥0)的方程,根据 平方根的定义,直接开平方可求解。 这种解一元二次方程的方法 叫做直接开平方法。 问题2 要使一块长方形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少? 解:设场地的宽为xm,则长为 . 根据长方形面积为16m2,得: (x+6)m x(x+6)=16 即 x2+6x-16=0 怎样解方程 x2+6x-16=0? 能把方程 x2+6x-16=0转化成(mx+n)2=a 的形式吗? 移项 两边加上32,使左边配成完全平方式 左边写成完全平方的形式 开平方 变成了(mx+n)2=a的形式 共 同 探 索 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的作用是? 降次 探索规律 (1)x2+8x+ =(x+ )2 (2)x2-4x+ =(x- )2 (3)x2-6x+ =(x- )2 42 4 22 2 32 3 思考:当二次项系数是1时,常数项与一次项的系数有怎样的关系? 规律:当二次项系数是1时,常数项是一次项系数一半的平方。 练一练 1 4 解方程:x2-8x+1=0 解:移项得:x2-8x=-1 配方得:x2 -8x+42=-1+42 写成完全平方式: (x-4)2=15 开方得:x-4= + ∴ x-4= x-4=- x1= x2= 二次项和一次项在等号左边, 常数项移到等号右边。 两边同时加上一次项系数一半的平方。 注意:正数的平方根有两个。 配方法 例题 解下列方程: ① x2+10x+9=0 ② x2-x- =0 ③ x2=4-2x 自我尝试 ④ x2-2x+4=0 方程无实数根 1、将方程变为一般形式。 2、移项,把常数项移到方程的右边。(变号) 3、配方,方程的两边都加上一次项系数一 半的平方。(等式的性质) 4、方程左边写成完全平方的形式。 5、利用直接开平方法开方求得两根。 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 自我 测 试 3.若x2 –mx+49是一个完全平方式,则m= 。 2.关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个完全 平方式,则k的值是 。 1.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成 (x+a)2=b的形式为___ _ ___,所以方程的根为 . 4.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形结果是( ) A.(a-2)2+1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2+1 D.(a-2)2-1 (x-1)2=5 4 ±14 A 8.若a2+2a+b2-6b+10=0,则a= ,b= 。 6.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对 5.用配方法解方程x2+4x=10的根为( ) A.2± B.-2± C.-2+ D.2- B C 自我 测 试 7.如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是-1, 那么k=____,另一根为____. 4 -3 -1 3 11.用配方法解下列方程: (1)x2 -3x-1=0 (2)x2 –1/2x-1/2=0 (3)(x-1)(x+2)=1 自我 测 试 10.证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1. 9. 用配方法说明:不论k取何实数,多项式 k2-3k+5的值必定大于零.
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