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绵阳市高2014级第一次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
ADBCB BADAC CA
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
13.1 14.13 15.e 16.t≤-3或t≥1
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
17.解 :(Ⅰ)由图得:.
由,解得. ………………………………………3分
由,可得,解得,
又,可得,
∴ .………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴ ,
由α∈(0,),得∈(,),
∴ . ……………………………………………9分
∴ =
=
=. …………………………………………………………12分
18.解:(Ⅰ)令,解得.……………………………2分
由,有,
两式相减得,
化简得(n≥2),
∴ 数列是以首项为1,公比为2 的等比数列,
∴ 数列的通项公式.……………………………………………6分
(Ⅱ)由≥,整理得k≥,
令,则, ………………………8分
n=1,2,3,4,5时,,
∴ .………………………………………………………10分
n=6,7,8,…时,,即.
∵ b5=,
∴ 的最大值是.
∴ 实数k的取值范围是.…………………………………………12分
19.解:(Ⅰ)由得,
∴ .……………………………3分
(Ⅱ)由,
可得,
于是 , ……………………………………5分
即,①
又O为△ABC的的外接圆圆心,则
,=, = 2 \* GB3 ②…………………………7分
将①代入 = 2 \* GB3 ②得到
?
,
解得 .……………………………………………………………10分
由正弦定理得,
可解得.…………………………………………………………12分
20.解:(Ⅰ) ,
∴ 时,,
∴ 函数在(2,3)上是减函数. …………………………………………2分
又, ……4分
∵ ,
,
∴ ,
由零点存在性定理,在区间(2,3)上只有1个零点.…………………6分
(Ⅱ)由题意等价于,
整理得. ………………………………………………………………7分
令,则,
令,,
∴ g(x)在上单调递减, …………………………………………9分
∴ ,即,
∴ ,即在上单调递减, ……11分
∴ ,
即. …………………………………………………………………12分
21.解:(Ⅰ) ,
= 1 \* GB3 ①a≥0时,,在上单调递增.………………………2分
= 2 \* GB3 ②时,由可解得,由可解得,
综上: a≥0时,的单调递增区间是;
时,的单调递增区间是;单调递减区间是.…………………………………………………………4分
(Ⅱ),
令,
则,令0,即,可解得m=.
①当m≤0时,显然,
此时在上单调递减,
∴ h(1)=0,不满足条件. ……………………………………………6分
②当时,令.
显然在上单调递增,
∴ .
由在单调递增,于是.
∴ .
于是函数的图象与函数的图象只可能有两种情况:
若的图象恒在的图象的下方,此时,即,
故在单调递减,
又,故,不满足条件.
若的图象与的图象在x1某点处的相交,设第一个交点横坐标为x0,
当时,,即,故在单调递减,
又,故当时,.
∴ 不可能恒大于0,不满足条件. ……………………………………9分
③当m≥时,令,则.
∵ x∈,
∴ ≥,
故在x∈上单调递增,
于是,
即,
∴ 在上单调递增,
∴ 成立.
综上,实数m的取值范围为m≥.………………………………………12分
22.解:(Ⅰ)由曲线C的原极坐标方程可得,
化成直角方程为y2=4x.………………………………………………………4分
(Ⅱ)联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得,
整理得, ……………………………………………………7分
∵ ,于是点P在AB之间,
∴ .……………………………10分
23.解:(Ⅰ)∵ 时,,
∴?当x≤-1时,,不可能非负.
当-1x1时,,由≥0可解得x≥,于是≤x1.
当x≥1时,0恒成立.
∴ 不等式≥0的解集.………………………………………5分
11-1-1xy(Ⅱ
1
1
-1
-1
x
y
令
作出图象如右. ………………………8分
于是由题意可得-1a1.…………10分
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