数列极限的解法15种.docVIP

1.定义法 ：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当时，有，则称数列收敛于.记作：.否则称为发散数列. 例1.求证其中. 证：当时，结论显然成立. 当时，记，则，由 得，任给，则当时，就有，即即 当 综上， 例2.求 解： 2.利用柯西收敛准则 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：正整数，使得当时，有. 例3.证明：数列为收敛数列. 证，取，当时，有 由柯西收敛准则，数列收敛. 例4.（有界变差数列收敛定理）若数列满足条件 ， 则称为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛 证：令 那么单调递增，由已知知有界，故收敛，从而正整数，使得当时，有 此即 由柯西收敛准则，数列收敛. 注：柯西收敛准则把定义中的与a的关系换成了与的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性. 3．运用单调有界定理 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极. 例5.证明数列（n个根式,a0,n=1,2,）极限存在，并求. 证：由假设知 （1） 用数学归纳法易证： 此即证单调递增. 用数学归纳法可证， 事实上， 由（1）（2）证得单调递增有上界，从而存在，对（1）式两边取极限得 ,解得和（舍去） . 4．利用迫敛性准则（即两边夹法） 迫敛性：设数列都以为极限，数列满足：存在正数N，当nN时，有，则数列收敛，且. 例6.求 解：记，则 由迫敛性得=. 注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用. 5．利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为定义在上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任意分割T,以及在其上任意选取的点集,只要T，就有， 则称函数在上（黎曼）可积，数J为在上的定积分，记作. 例7. 解：原式= = = 例8.求 解：因为又 = 同理 由迫敛性得=. 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。 6．利用（海涅）归结原则求数列极限 归结原则：对任何，有 例9. 求 解：= =1 例10.计算 解：一方面， 另一方面， 由归结原则（取） 由迫敛性得= 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.