60度的菱形内再做一个60度的角.docVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页） 60度的菱形内再做一个60度的角 　 一．解答题（共7小题） 1．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线． 【分析】求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证． 【解答】证明：连接PD，DQ， 由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°， ∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ． ∴，． ∴AC2=PA?QC，又AC=AD=DC． ∴，又∠PAD=∠DCQ=60°， ∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ． ∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°， ∴P，D，Q三点共线． 【点评】本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等． 2．如图，已知菱形ABCD的边长为6cm，∠B=60°，E、F是BC、CD上的两个动点，且∠EAF=60°，试判断四边形AECF的面积是否变化？不变请求值． 3．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），在运动过程中，保持∠PAQ=60°不变． （1）试说明：△PAQ是等边三角形； （2）求四边形APCQ的面积； （3）填空：当BP=　　时，S△PCQ最大． 4．如图，在边长为1+的正方形ABCD中，P是BC边上的一点，把线段PA绕着点P顺时针旋转得到线段PQ． （1）如图（左），若点Q恰好落在边CD上，∠APQ=60°，求∠BAP的度数； （2）如图（右），若点Q落在正方形的外部．且∠APQ=90°，△CPQ是等腰三角形，求BP的长． 5．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠B=60°，点P是直线BC上一点，作∠APQ=60°，PQ交DC所在直线于Q，连接AQ． （1）当点P在线段BC上时，如图1，则△APQ的形状是　　； （2）当点P在线段BC的延长线上，如图2，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）当点P在线段BC的反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？请在备用图上画出图形，直接写出结论． 6．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ． （1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来； （2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积； （3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由． 7．如图，菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E是线段AB上一点（不与A，B重合），作∠EDF交BC于点F，且∠EDF=60°． （1）直接写出菱形ABCD的面积； （2）当点E在边AB上运动时， ①连结EF，求证：△DEF是等边三角形； ②探究四边形DEBF的面积的变化规律，写出这个规律，并说明理由； ③直接写出四边形DEBF周长的最小值．