概率论和数理统计-ch2随机变量及其分布.ppt

第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其概率分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量函数的分布 概率的公理化定义可以看做定义了一个集合函数，但其与普通函数的不同在于“定义域”为由事件构成的集合，如果把任意事件A数量化，则“定义域”就可以表示为一个实数集。 几个实例 掷一枚骰子，观察其出现的点数， 出现1点，2点，3点，4点，5点，6点分别对应1，2，3，4，5，6 ； 随机变量的概念(Random varible) 二.离散型随机变量的概率分布 例 200件产品中，有196件正品，今从中随机抽取1件，求取到正品的概率 解：设x表示取到正品的个数，显然 则所求概率为 2.二项分布 若一个随机变量的概率分布为 则称X服从参数为n,p的二项分布，记为 3.泊松分布（1837年） 若一个随机变量的概率分布为 则称X服从参数为 的泊松分布，记为 单位时间内电话交换机收到的呼唤次数 某一路段在一个时间段内发生的交通事故数 一个时间段内车站上的候车人数 铸件上或一段布匹上的疵点数 种子中混有的杂草种子数 单位时间单位面积上接受的放射性粒子数 例 珠海市每个月发生火灾的次数X服从参数为5的泊松分布，求（1）珠海市某月发生10次火灾的概率（2）某月至少发生1次火灾的概率 解：由题意，显然 所以所求概率为： （1） （2） 二项分布计算中遇到的问题 例 我系共有365同学，求恰有3名同学的生日是国庆节的概率。 泊松定理 简单描述为： 引例： 某厂生产某产品的尺寸为25.2mm—25.6mm，现从一批产品中任取100件，测得数据如下：（分11组，组距为0.03mm） 若规定25.295mm—25.505mm为合格品，产品的合格率是多少？ 可以画直方图表示合格率更直观 用直方图的面积表示产品的合格率（频率） 面积=组距 x 高=频率 所以 高=频率/组距 若合格尺寸的要求更精确，则要求分组更多，组距更小 比如由25.295mm—25.505mm 变为25.2955mm—25.5055mm 组距应缩小10倍 要求再高，…… 产品的合格率可通过下式计算： 在上例中，X可看成是随机变量，取值范围为区间【25.2,25.6】 对离散型随机变量有： 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念. 如何理解分布函数呢？或者分布函数在具体问题中表示什么呢？ 它表示累计频率（概率） 二、分布函数的性质 3、如何通过分布函数或分布律求随机事件的概率？ 已知P {aX ?b}＝F (b)－F (a) 分布函数为： 随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 小结. 例5 69路公交每5分钟发一班，求某同学等车时间超过3分钟的概率 2、指数分布：描述寿命的分布 定义 若随机变量X的概率密度为 则称X服从参数为λ的指数分布,记为X ~ e(λ) 易见： 指数分布具有无记忆性 分布函数为： 例6 某元件的寿命x服从指数分布，已知其参数λ=1/1000,求3个这样的元件使用1000小时，至少已有一个损坏的概率 其中 ?为实数， ?0 ，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2)，可表为X～N(?, ?2). 若随机变量X的概率密度为 3. 正态分布 易见： 正态分布的特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=?对称； f(?)＝maxf(x)＝ . (3) ?的大小直接影响概率的分布 ?越大，曲线越平坦，?越小，曲线越陡峭。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 （2）曲线在 处有拐点且以x轴为渐近线 分布函数表示为 分布函数不能用初等函数表示，因为： 标准正态分布 参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 标准正态分布分布函数图示 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅?(x)的值。 求?（0.5)、 ?(2.26) 、?(2.265)、 ?(6.5) 、 已知?(x) =0.99, 求x=？ ?(-1)＝？ 得 ?(-1)＝1－ ?(1) 结论：?(-x)＝1－ ?(x) ?(-5)=？ 例 若X~N（0，1）, 求P{1.32X2.43} 解：P{1.32X2.43}=?(2.43)-?(1.32) =0.9925-0.9066 例 若X~N（3，4）, 求P{5X7} 解：P{5X7}=F(7)-F(5) = ? 一般正态分布和标准正态分布的关系 定理 设随机变量