【人教A版】2019年必修四导学案设计(含答案第一章 1.2.2(一.docx

1．2.2　同角三角函数的基本关系(一) [学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值． 知识点　同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cos α) (α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)． 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. (2)tan α＝eq \f(sin α,cos α)的变形公式： sin α＝cos αtan α；cos α＝eq \f(sin α,tan α). 思考　利用任意三角函数的概念推导平方关系和商数关系 答案　∵sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，x2＋y2＝r2， ∴sin2α＋cos2α＝eq \f(y2,r2)＋eq \f(x2,r2)＝eq \f(x2＋y2,r2)＝1， ∴eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq \f(y,x)＝tan α(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)， ∴sin2α＋cos2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cos α). 题型一　知一求二 例1　已知cos α＝－eq \f(8,17)，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－eq \f(8,17)0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq \f(15,17)， tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq \f(15,8). (2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(15,17)，tan α＝eq \f(15,8). 反思与感悟　同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用． 跟踪训练1　已知tan α＝eq \f(4,3)，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解　由tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(4,3)，得sin α＝eq \f(4,3)cos α，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得eq \f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq \f(9,25). 又α是第三象限角，∴cos α＝－eq \f(3,5)， sin α＝eq \f(4,3)cos α＝－eq \f(4,5). 题型二　给值求值 例2　已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)eq \f(4sin α－2cos α,5cos α＋3sin α)；(2)eq \f(1,4)sin2α＋eq \f(1,3)sin αcos α＋eq \f(1,2)cos2α. 解　(1)原式＝eq \f(4tan α－2,5＋3tan α)＝eq \f(6,11). (2)原式＝eq \f(\f(1,4)sin2α＋\f(1,3)sin αcos α＋\f(1,2)cos2α,sin2α＋cos2α) ＝eq \f(\f(1,4)tan2α＋\f(1,3)tan α＋\f(1,2),tan2α＋1) ＝eq \f(\f(1,4)×4＋\f(1,3)×2＋\f(1,2),5) ＝eq \f(13,30). 反思与感悟　1.关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值． 2．注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式． 跟踪训练2　已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)eq \f(\r(3)cos α－sin α,\r(3)cos α＋sin α)；(2)2sin2α－3sin αcos α. 解　因为已知tan α＝3，所以逆用公式把弦函数化为切函数． (1)原式＝eq \f(\f(\r(3)cos α－sin α,cos α),\f(\r(3)cos α＋sin α,cos α)) ＝eq \f(\r(3)－tan α,\r(3)＋tan α) ＝eq \f(\r(3)－3,\r(3)＋3)＝－2＋eq \r(3).