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§4托勒密定理与西姆松定理
托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
EDCBA
E
D
C
B
A
一、直接应用托勒密定理
例1、 如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合),
求证:PA=PB+PC.
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,∵AB=BC=AC.
∴PA=PB+PC.
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 、证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2
证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD
是圆内接四边形.由托勒密定理有
AC·BD=AB·CD+AD·BC. ①
又∵ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3 、如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接圆于D,连结BD,
求证:AD·BC=BD(AB+AC).
证明:连结CD,依托勒密定理有
AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).
三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB, 使AC=a,BC=b,
BD=x,AD=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.
据托勒密定理有
AC·BD+BC·AD=AB·CD.
∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理
例5、已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰
梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
证明:如图,作△ABC的外接圆,以A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、
DA.∵AD=BC,∴∠ABD=∠BAC.
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
依托勒密定理有
BC·AD=AB·CD+BD·AC. ①
而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2. ②
∴∠BAC=2∠ABC.
五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例6 、在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
分析:将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密
定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,连结AD、CD.
在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理有
AC·BD+BC·AD=AB·CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,
练习1.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。由托勒密定理,AC·BD=AD·BC+CD·AB。
西姆松(Simson)定理(西姆松线)
注:
例7、
例8、
例9、
例10、
作业:
1.设AD是△ABC的边BC上的中线,直线CF交AD于F。
求证:。
2.过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F,
交CB于D。求证:。
3.D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,
, AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。
4.以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、
△CAF、△ABG。求证:AE、BF、CG相交于一点。
5.已知正七边形A1A2A3
6.△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作PE⊥AB
于E,延长ED交AC延长线于F。求证:BC·EF=BF·CE+BE·CF。
7.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的
比为AM:AC=CN:CE=k,且B、M、N共线。求k。(23-IMO-5)
8.O为△ABC
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