圆锥曲线的一些类型和解题方法.doc

PAGE 圆锥曲线难题破解 一、 用圆锥曲线的定义简捷解题。 例1： 设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则|PF1||PF2|的最小值是__________. 结论1 若P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，则 b2|PF1||PF2|a2. 结论2 若点P是以F1，F2为焦点的双曲线上的任意一点，则 |PF1||PF2|. 例2： 如果点A的坐标为（1,1），F1是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，则|PA|+|PF1|的最小值为________. （如果要求|PA|+|PF1|的最大值呢？） 二、从分析图像特征寻求解题思路 例1： （2010年北京卷）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于. 求动点P的轨迹方程. 设直线AP和BP分别与直线x=3交与点M,N，问：是否存在点P使得的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 例2： （2009年湖北卷）过抛物线的对称轴上一点A（,0）(0)的直线与抛物线相交于M,N两点，自M,N向直线作垂线，垂足分别为,. 当=时，求证： . 记的面积分别为是否存在，使得对任意的0，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 三、“定”型问题 1、定点问题: 例1： 已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切。 求椭圆C的方程； 设P（4,0），A，B是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C与另外一点E，证明直线AE与轴相交于定点Q； 在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点，求的取值范围. 2、定值问题： 例2： 已知椭圆的离心率为. 若原点到直线，求椭圆的方程. 设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交与A,B两点 （ⅰ）当|AB|=时，求b的值； （ⅱ）对于椭圆上任一点M，若,求实数满足的关系式. 例3： 给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为. 求椭圆C的方程和其“准圆”方程. 点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M,N. 当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程； 求证：|MN|为定值. 四、最值问题 例1： 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，），且长轴长与短轴长的比是：1. 求椭圆C的方程； 若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A,B，求证：直线AB的斜率为定值； 求的面积的最大值. 例2： 已知抛物线，点M（1,0）关于y轴对称的点为N，直线过点M交抛物线于A,B两点. 证明：直线NA，NB的斜率互为相反数. 求面积的最小值. 当点M的坐标为（,0）(0,且)时，根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）： 直线NA，NB的斜率是否互为相反数？ 面积的最小值是多少？ 例3： 长为（1）的线段AB的两端在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于________. 五、对称问题 例1： 在抛物线上恒有两点关于直线对称，则k的取值范围是_________. 六、存在性问题 例1： （2009年山东卷）设椭圆E：过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点. 求椭圆E的方程. 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且?若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由. 例2： （2008年山东卷）如图，设抛物线方程为，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B. 求证：A,M,B三点的横坐标成等差数列. 已知当点M的坐标为（2，-2p）时，|AB|=，求此时抛物线的方程. 是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有符合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 例3（2007年上海卷）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，bc0.如图，点、、是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x、y轴的交点. （1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）当||时，求的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由. 答案解 一、 用圆锥曲线的定义简捷解题。 例1：解析： 方法1：解：设||=x,则由椭圆定义得||=4-x，易知，即 . ==，在