常用巧算和速算方法[1].pdf

常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大 数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 =101×100÷2 =5050。 又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建 利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。 问织几何？” 题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些， 并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了 30天。问她一共织了多少布？ 张丘建在《算经》上给出的解法是： “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是 1匹=4丈，1丈=10尺， 90尺=9丈=2 匹1丈。（答略） 张丘建这一解法的思路，据推测为： 如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是 5＋…………＋1 在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要 递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来，则算式便是 1+………………＋5 此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个 相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等” 这一特点，那么，就会出现下面的式子： 所以，加得的结果是6×30=180（尺） 但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇 女30天织的布是 180÷2=90（尺） 可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。 【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可 以使它很快地解答出来。例如 求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。 这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。 什么是“数字之和”？例如，求1到12这12 个自然数的数字之和，算式是 1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。 显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也 极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10亿个自然 数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将 它们两两分组： 0和999，999，999；1 和999，999，998； 2和999，999，997；3 和999，999，996； 4和999，999，995；5 和999，999， 994； ……… ……… 依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与 添上的0共10亿个数，共可以分为 5亿组，各组数字之和都是81，如 0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81 1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81 ……………… 最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。所以，此题 的计算结果是 （81×500，000，000）＋1 =40，500，000，000＋1 =40，500，000，001 【由小推大】 “由小推大”是