幂函数的性质与图像-上海南汇中学.DOC

幂函数的性质与图像 上海南汇中学 周静波 【教学目标】 1、掌握幂函数的概念。 2、掌握幂函数的性质和图像。 3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。 4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。 【教学重点】幂函数的图像与性质 【教学难点】幂函数的图像 教学过程 一、回顾与本堂课相关的知识点 这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。(1) 若，则。() 这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。 a k指数底数幂(2) 若，则。（且） a k 指数 底数 幂 (3) 有理数集Q={互质} (4) 如图: 二、新课 由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为 由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。 (1) (2) 2、定义 形如，（其中且互质）的函数叫幂函数。 给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，指数是有理数。 给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。 练习 判断：下列各式中表示幂函数的有（ ） 答案：C E F A、 B、 C、 D、 E、 F、 G、 思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？ （回顾第三章的内容——函数的性质 考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像） 3、研究探索 例1、研究函数的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。 幂函数会具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数解：函数的定义域为，值域为。 幂函数会具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数 （1）奇偶性。 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。 （2）单调性。 对任意，且 可得 则 即 所以函数在上为减函数。 由以上几点分析函数的图像的性质： 由，可知函数的图像只在第一象限； 由函数非奇非偶，可知图像不对称； 由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。 描点作图： x 0.25 0.5 1 2 3 4 2.0 1.4 1 0.7 0.6 0.5 y y 1.4 1.4 1 1 0.7 0.7 O0.512x O 0.5 1 2 x 例2、指出的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。 解： 定义域为R，值域为 （1）奇偶性。 对任意，满足， 使得 所以该函数是偶函数。 （2）单调性。 对任意，且 所以，故有 即 所以在上为增函数。 作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。同理可得在上为增减数。 作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。 描点作图： x 0 1 2 3 0 1 y y 1 1 1Ox 1 O x 在作函数的图像时，可以先描点作出该函数在第一象限内的图像，再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。 小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。 小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。 小结：研究函数图像的基本步骤（方法） 1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。 2、由单调性判断图像的变化趋势。 3、由奇偶性判断函数图像是否对称。 练习：指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性， 并作出它的大致图像。 y1O1x定义域：R y 1 O 1 x 学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。值域：R 学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。 奇偶性：奇 单调性：增函数 4、归纳总结 思考：幂函数有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像的特点。） y y 1 1 O O 1x 1 x 小结：幂函数图像在第一象限的特点。 总结：幂函数图像在第一象限内的特点。（1）图像必过点。 总结：幂函数图像在第一象限内的特点。 （2）时，过点，且随x的增大，函数图像向y轴方向延伸。在第一象限是增函数。 （3）时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。） 课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。（4）时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。在第一象限是增函数。 课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中