大学概率统计教程第2章.ppt

第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及分布函数 例 2.8 例2.8（续） 例2.12 对离散型随机变量的认识 例 例 均匀分布的概率背景 例2.14 例2.14（续） 例2.18 例2.12 证明:设 分别为两种方式下有人得 不到帮助的概率,则只需证 X为方式A下一名网管负责的30台电脑中 任意时刻需要帮助的人数, 设Ai为方式A下一名网管负责的30台电脑 中有人得不到及时帮助,i=1,2,…,10 例2.12 注意 相互独立,于是 例2.12 Y为方式B下300台电脑中任一时刻需要帮助的人数, 由于np=3,近似地有 于是,查泊松 分布表,有 (2)设N为使得 的最小的N,查泊松分布表,得N+1=8 例2.12 注意 相互独立,于是 (1)离散型随机变量是通过“分布律”来 刻画的； (2)分布律包括两点:一是随机变量的取值 二是随机变量取值对应的概率; (3)若已知分布律: A.可求随机变量落入任意区域的概率; B.可求随机变量的分布函数; §2.3连续型随机变量 定义2.8 设随机变量X的分布函数F(x),若存在非负可积函数 f(x)，使得 则称X为连续型随机变量, 概率密度函数，简称概率密度，记为 X ~ f(x) f(x) 为X 的 x f(x) 密度函数本身并不表示概率,对密度函数的积分才是概率.也就是说,密度函数图象下的面积才表示概率 密度函数的意义 x2 f(x) 密度函数的意义 x1 问:f(x1)f(x2)意味着什么呢? 答: f(x1) △xf(x2) △x,表示随机变量 X落入x1附近的可能性要比落入x2附近 的可能性大. 密度函数的性质 定理2.3 X为连续型随机变量,F(x)和f(x) 分别为X的分布函数与密度函数,则 (1)对任意a,b(ab),有 (2) F(x)是连续函数， 设随机变量X的概率密度为 求常数a. 答: 例2.13 已知随机变量X的密度为 且P(2X3)=2P(1X2),求常数a,b 及分布函数F(x) 解：因为 例2.13 下求分布函数F(x) 本题的分布函数是不是分段函数呢? 如果是,应该分几段? 例2.13 注意积分限的变化 例2.13 所以F(,)是分段 函数,共三段 表示为: 有关密度函数例题 §2.3.2几种常见的连续型分布 X ~ U[a, b]。 定义2.9 设随机变量X的密度函数为 则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为 试求均匀分布的分布函数 a b f(x) 1 F(x) (1)均匀分布X ~ U[a, b] X X a b x l l 0 (2)指数分布 X~ e(?) X的分布函数为： 定义2.10 设随机变量X的密度函数为 则称X服从参数为 ? 的指数分布 §2.1.1 随机变量 观察以下随机试验的结果: 例2.1 掷一枚色子考察出现的点数,则 试验结果与数之间 的恒等映射为: 例2.2 某厂出厂灯泡中抽取一只做寿命 试验,记录灯泡的寿命,则 样本点与数之间也有恒等映射 注意:还有许多试验的结果本身不是实数 随机变量的定义 例2.4 随机从某人群中抽样,观察抽得的人 的性别,此时 ,则 我们可以建立样本点与数之间的映射为: 定义2.1 设 是一试验的样本空间，如果对 于每一个样本点 规定一个实数 这样就定义了一个定义域为 的实值函数 称为随机变量 随机变量与普通函数的区别 (1)定义域是样本空间,样本空间不一定 是实空间; (2)随机变量的取值具有随机性;即试验 之前,不知道样本空间 中哪一个样本点 出现,从而 取何值不能确定,而 试验之后, 才确定取何值; (3)随机变量的取值具有一定的概率;例如 在例2.1中 利用随机变量表示事件 有了随机变量的定义之后,我们可以用随机 变量落入某个区域来表示随机事件. 例如:用“ ”表示打色子的时候 “出现奇数点”这一随机事件；用“ ” 表示“打出的色子数等于1”这一随机事件。 一般情况下，我们可以用 表示随机变量取值在G中的样本点构成的 事件，简记为 §2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.2 设X是随机变量，对任意实数x，定义 F(x)＝P {X?x} 称F(x) 为随机变量X的分布函数。 注（1）分布函数的本质是一个概率，即 事件{X?x}的概率P{X?x}； （2）对任意实数a, b (ab), P {aX?b}＝ F(b)－F(a). 0.3 0.6 0.1 P 2 1 0 X 例2.5 已知随机变量X的 取值情况如右表，求X的 分布函数 分布函数的求法 因为分布函数是定义在整个数轴上，所以 0 1 2 可