幂级数及其收敛性三.PPT

* 一、 函数项级数 二、 幂级数及其收敛性 三、 幂级数的运算 第四节 幂级数 第六模块 无穷级数 则称点 x0 为函数项级数①的一个收敛点. 称为函数项级数， ① 在函数项级数 ①中，若令 x 取定义域中某一确定值 x0 ， 则得到一个数项级数 若上述数项级数收敛， 反之，若上述数项级数发散， 则称点 x0 为函数项级数① 的发散点. 一、 函数项级数 上述级数的和 S 也随之 变动， 称为函数项级数的收 敛域. 收敛点的全体构成的集合， 若 x0 是收敛域内的一个值， 因此必有一个和 S(x0) 与之对应， 即 当 x0 在收敛域内变动时， 就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x)， 即 如果我 们仿照数项级数的情形， 将函数项级数① 的前n 项和记为 Sn(x) ， 且称为部分和函数， 这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数. 即 Sn(x) 那么在函数项级数的收敛域内有 则在收敛域内同样有 解 因为所给级数的部分和函数 所以，它在区间 (-1,1) 内收敛， 即收敛域为 (-1,1). 且所给级数的和函数为 例 1 试讨论 ≥ 一般形式为 ② 幂级数， 幂级数更一般的形式为 它显然可以通过变量代换 y = x - x0 方法化为式② . 二、幂级数及其收敛性 则称幂级 数为不缺项的， 否则称为缺项的幂级数. 例如幂级数 缺 x 的奇次幂， 叫缺项的幂级数， 又如 是不缺项的幂级数. 定理 如果 该幂级数收敛; 该幂级数发散. 记作 R , R= . 即 因为 它不一定是正项级数， 证 若将 x 看成 是一个确定的值， 那么就得到一个数项级数， 为此，我们可对幂级数的各项取绝对值， 得 这是一个正项级数. 运用比值审敛法. 因为 也就是说 显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大， 一般项 不趋近于零 . 由级数收敛的必要条 件可知该幂级数发散. 因此它 必然收敛 . 可运用上述定理求收敛半径 例 2 试求幂级数 的收敛区间 . 解 所给的幂级数为不缺项的， 它是发散的. 此为调和级数， 例 3　求幂级 解　所给幂级数缺少 x 的奇次幂项， 对此正项级数利用比值审敛法 因此不能直接利用公式求收敛半径 R. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　是一个缺项幂级数， 所求幂级 数绝对收敛 . 幂级数收敛 . 例 4 解　运用正项级数的比值审敛法 . 区间端点处: 当 x = 0 时， 它们的和函数分别为 三、 幂级数的运算 *