凸四边形外接椭圆存在性的证明.DOC

凸四边形外接椭圆存在性的证明 王钦敏　余明芳 本文曾发表于《福建中学数学》 三角形均有外接圆，而凸四边形在对角互补的条件下也存在外接圆，这是人们所熟知的，进一步地我们可以考察三角形与凸四边形外接椭圆的存在性问题，在本文中我们用几何的方法对这个问题作出肯定的回答，有下面的定理： 定理　任一凸四边形均存在外接椭圆 证明：如图，四边形是任一凸 四边形，如果它的对角互补，则它有外接 圆，我们可把外接圆看作是凸四边形的一 个特殊的外接椭圆． 如果凸四边形的对角不互补， 则必有一对角和小于，不妨设 ， 由于凸四边形是给定的，故均为定角，设它们分别等于与． 一、若与均不等于，则可在面内过点作直线，与和的延长线分别相交于点与点，设凸四边形在通过的某一个平面上的射影是凸四边形，这时显然是两个面所成二面角的平面角，设为，以下证明，当取某一适当值时，可使得凸四边形的对角互补． 同理可得 ， 类似地，可得， 欲使凸四边形的对角互补，仅需， 故，即 ， 故可解得 ， 因此，只要取适当的值满足这个等式，即可使凸四边形的对角互补，这里，凸四边形有外接圆，若以该外接圆为底作一圆柱，则与四点定会落在该圆柱的侧面上，而面在侧面上截出一个椭圆，这个椭圆是凸四边形的一个外接椭圆． 需要说明的是，在上述证明过程中，若出现，则因，故，同理有，所以只要取满足其中某一个等式即可． 若与中有一个角是直角，不妨设为，则点三点重合，在上述证明过程中，由同样的方式可得，这里定理仍成立．证毕． 因为任一三角形在平面上的射影三角形都有外接圆，故任一三角形均有外接椭圆．