用排除法简解全国高考全国卷I理科题.docVIP

用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题 高考题 (2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是(　) A. B.C. D. 解法1 (数形结合法)D.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1). 由g′(x)0得x－eq \f(1,2)，由g′(x)0得x－eq \f(1,2)，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数． 又函数g(x)在xeq \f(1,2)时g(x)0，在xeq \f(1,2)时g(x)0，所以其大致图象如图1所示． 图1 直线y＝ax－a过点(1，0)． 若a≤0，则f(x)0的整数解有无穷多个，因此只能a0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，得x0只能是0，所以实数a应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）≥0，,f（0）0，,f（1）≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3e－1＋2a≥0，,－1＋a0，,e≥0，))解得eq \f(3,2e)≤a1. 即实数a的取值范围是. 解法2 (分离常数法)D.令后，得题设即关于t的不等式有唯一的整数解. 若，由a1，可得 所以题设即关于t的不等式即有唯一的整数解，也即关于t的不等式有唯一的整数解. 设，得，所以函数在上是增函数，得最大值为. 又，由此可作出函数的图象如图2所示： 图2 注意到图象过点且，所以由图2可得： 当时，满足的整数t有，所以此时不满足题意. 当时，满足的整数t只有，所以此时满足题意. 得所求a的取值范围是. 解法3 (排除法)D.当时，不等式f(x)0即ex(2x－1)0也即，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B. 令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1). 由g′(x)0得x－eq \f(1,2)，由g′(x)0得x－eq \f(1,2)，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数． 又g′(0)＝1，所以可得曲线在点处的切线为，如图3所示． 图3 所以当a1且时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C. 所以选D. 注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.