振动锤数学模型和全局分叉.PDF

第 29 卷 第 4 期 力 　学 　学 　报 Vol. 29 , No. 4 1997 年 7 月 ACTA MECHAN ICA SIN ICA J uly , 1997 振动锤的数学模型与全局分叉1) 谢建华 (西南交通大学应用力学与工程系 , 成都 610031) 摘要 　用现代动力系统方法 , 将振动锤的动力学等价地简化为圆周上的分段连续自映射 , 并描述了 此映射的性质. 随着激振频率的增加 , 系统产生的分叉过程与普通的一维连续映射有本质差异. 在 极限状态下 , 振动锤的运动是混沌的. 关键词 　振动锤 , 圆周映射 , 全局分叉 , 混沌 引 　言 利用冲击原理进行工作的惯性振动机已广泛地应用于工程实际 , 如冲击式矿车清底器、 振动锤、振动钻探机、振动夯土机、冲击振动成型机以及振动落砂机等等 [1 ]. 目前对该类机械的设计是建立在小扰动线性化的基础之上的, 如文 [ 2 ] 对振动落砂机的 研究 ; 文 [3 ] 对气动微震造型机动力学分析 ; 文 [4 ] 对蛙式打夯机的探讨等. 但这种方法有 很大的局限性 : 其一 , 它是局部的方法. 在现代动力系统基础上建立起来的冲击动力学理论表 明 , 对同一组参数 , 冲击振动系统可能有多种形式的稳态运动的存在[5 ] . 因此设计工作状态 时 , 必须根据全局的分析结果 ; 其二 , 冲击振动系统是多参数系统. 随着参数的变化 , 系统的 稳态运动通过分叉由简单型向复杂型变化 , 并可能导致混沌运动[6 ,7 ] , 而且冲击振动系统的分 叉与混沌问题比连续系统更为复杂. 因此 , 冲击振动机械的最优化设计必须建立在全局分叉和 全局分析的理论基础之上. 本文利用冲击时激振器相位角的后继函数 , 建立了描述振动锤动力学的圆周映射. 此映射 ( ) 虽无显式的表达式 , 但其性态 如升降性等 是可证明的. 由于简化映射具有不连续点, 该映 射的分叉过程与通常的一维映射的标准分叉过程不同 , 如虽然倍化分叉存在 , 但倍化分叉序列 不存在. 当激振频率充分大时 , 复杂的周期运动出现 , 并导致振动锤的混沌运动. 1 　运动微分方程与圆周映射 ( ) [1 ] ( ) 图 1 a 为电动机与激振器联在一起的振动锤 . 图 1 b 是其力学模型. 两偏心块同 频率反向旋转 , 当惯性力的垂直分力大于或等于重力时 , 锤体被提起 , 下落时与被打击物体之 ( ) 间发生非弹性碰撞 恢复系数 R ≈0 . 锤体被提起后的运动微分方程为 ··