排列组合常见问题分类及典例解析(排列组合方法大全).docVIP

中小学1对1个性化教育专家 努力今天 成就明天 授 课 教 案 学员姓名： 授课教师： 宋光元 所授科目： 数学 学员年级： 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分共 小时 教学标题 排列组合常见问题分类 教学目标 教学重点 教学难点 一、集团排列问题（相邻问题） 部分元素必须要排在一起（相邻）的排列问题称之为“集团排列问题”，解决这类问题常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”内的元素，再把这个“大”元素与其他元素一起排列即可。 例1、7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ 甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个同学也必须站在一起的排法共有多少种？ 解：（1）第一步：先排甲、乙 种 第二步：将甲、乙作为一个整体与其他人全排列 种 共有 种 （2）第一步：先排甲、乙、丙 种 第二步：将甲、乙、丙作为一个整体与其他人全排列 种 共有种 （3）共有种 （4）共有 种 例2、将大小不同的5个红球和2个白球摆成一排，要求两端都是红球，且最小的红球与最小的白球必须相邻，求共有多少种不同的摆放方法？ 解：把小红球与小白球捆绑，看成A球 1）A不在两端： 种 2）A在其中一端： 种 共有576 + 192 =768种 间隔排列问题（不相邻问题） 部分元素不能排列在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列问题”，解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再排需要间隔的元素，通过插空的形式插进来即可 例3、7位同学站成一排， 甲、乙不相邻 （2）甲、乙、丙都不相邻 解：（1）先排其他5位同学 种 再排甲、乙 种 共有 种 （2）先排其他4位同学 种 再排甲、乙、丙 种 共有 种 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，解决这类问题的基本方法有三种： （1）消序法：即若有个元素排成一列，其中个元素之间的排列顺序不变，将这个元素任意排成一列，共有种不同的排法，但其中未定序的个元素排在某一特定位置的排列种数为种，而只有一个是我们所需要的排列，因而共有种不同的排法，类似的推广到一般情形，若有个不同元素，其中个元素排列顺序不变，另外个元素排列顺序也不变，则共有种不同的排法。 （2）逐一插空法：先将定序的元素排成一列，再将其他元素逐一插入这组元素的两端及中间 （3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干个位置，并把这些“特殊元素”按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列。 例4、若5男5女排成一排，按下列要求各有多少中排法？ （1）男女相间 （2）女生按指定顺序排列 解：（1）共有 种排法 （2） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①消序法： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②逐一插空法： = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③优序法： 例5、今有两本相同的语文书，三本相同的数学书，四本相同的英语书排成一排，共有多少种不同的排法？ 解：消序法：种 例6、一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登2个台阶，一共有多少中不同的走法？ 解：要想12步走完，只能走6个一步一台阶，6个一步两台阶 故转化为相同元素的排列问题，则用消序法得 种 错位排列问题 个不同元素排成一列，有个元素不排在相应位置的排列种数有： 而当时，表示全错位问题 表示个不同元素排成一排，而第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位……第个元素不在第位，其不同的排列总数为 例7、有5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，有多少中不同的站法？ 解：（全错位排列问题） 变式：5个人站成一排，甲不站