弹性力学第6章：用有限元法解平面问题.ppt

1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。 §6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示 －－结点虚位移， －－对应的虚应变。 §6-2 有限单元法的概念 FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a））。 将连续体变换为离散化结构（图（c））：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。 与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。 （2）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为 －－结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 （5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性力学方法求解，为什么？ §6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。所以三角形单元的位移模式，可取为 其中 包含 N －－ 称为形（态）函数矩阵。 其中 三结点三角形单元的位移模式，略去了2次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的1次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。 FEM中以后的一系列工作，都是以位移 模式为基础的。 对式（a）求应变，得 （1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。 1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？ 2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。 §6-4 单元的应变列阵和应力列阵 应用几何方程，求出单元的应变列阵 ： 对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。 1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。 §6-5 单元的结点力列阵与 劲度矩阵 假设发生一组结点虚位移　　 则单元内 任一点（x,y）的虚位移为 单元内任一点（x,y）的虚应变为 代入虚功方程：在单元中，外力（结点 力 ）在虚位移（结点虚位移　 　）上的 虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功， 即 （书中P.117页），以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵S和单元劲度矩阵 。 从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上的力，正好就是结点力。在FEM中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。 §6－6　荷载向结点移置　 单元的结点荷载列阵 1. 等效原则 （1）刚体静力等效原则－－使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。 2. 集中力的移置公式 原荷载 作用于单元中任一 点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 作用于结点 对于任意的虚位移 ，虚功方程都必须满足，得 应用式 ，将 代之为 并对单元域A 积分，得 1. 试导出书中例题的荷载移置公式。 §6－7　结构的整体分析　 结点平衡方程组