国中数学五11比例线段平行线截比例线段由比例线段判别.DOC

PAGE 54　第1章　比例線段與相似形 國中數學(五)　 PAGE 53 比例線段與相似形 比例線段與相似形 1-1 比例線段 1. 平行線截比例線段 2. 由比例線段判別平行線 1-2 相似形 1. 相似形的意義 2. 相似三角形的判別 3. 相似形的應用  在一頁印有等距離平行直線的筆記簿上，畫一線段 在一頁印有等距離平行直線的筆記簿上，畫一線段AC，假如A、C兩點都恰好在不同的平行直線上， eq \o(AC,???) 上一點B也在平行直線上，不經測量是否能知道 eq \o(AC,???)： eq \o(BC,???) 是多少？ 　　下圖的兩個長方形是否相似呢？如何判別兩個圖形相似呢？相似三角形有哪些性質？如何利用相似三角形來做測量問題呢？這些都是本章所要探討的主題。  1-1 1-1 比例線段 1 平行線截比例線段 1 　　《九章算術》是中國古代最重要的一本數學經典，書中內容主要是利用數學方法來處理一些日常生活的問題。書中有這樣一個問題： 「今有勾五步，股一十二步。問勾中容方幾何？」 　　這個問題是說：在右圖直角△ABC中， 已知∠B＝90°， eq \o(AB,???)＝5， eq \o(BC,???)＝12，D點在 eq \o(BC,???) 上，E點在 eq \o(AC,???) 上，F點在 eq \o(AB,???) 上。若 四邊形BDEF是正方形，則它的邊長是多少？ 　　魏 晉時代的算學家劉徽在《九章算術》的注解中，指出圖中的四個線段 eq \o(AF,???)、 eq \o(FB,???)、 eq \o(BD,???) 與 eq \o(DC,???) 有下列的比例關係 eq \o(AF,???)： eq \o(FB,???)＝ eq \o(BD,???)： eq \o(DC,???)，為什麼會有這個比例關係呢？讓我們來探索這個問題。 等高三角形面積之比例題 一 等高三角形面積之比 例題 一 如下圖， eq \o(AH,???) 是△ABC的高， eq \o(DG,???) 是△DEF的高，如果 eq \o(AH,???)＝ eq \o(DG,???)， eq \o(BC,???)： eq \o(EF,???)＝5：8，試求△ABC面積和△DEF面積的比。 解：因為△ABC面積：△DEF面積　　＝ EQ \F(1, 2 ) × eq \o(BC,???) × eq \o(AH,???)： EQ \F(1, 2 ) × eq \o(EF,???) × eq \o(DG,???)又 eq \o(AH,???)＝ eq \o(DG,???)，所以△ABC面積：△DEF面積＝ eq \o(BC,???)： eq \o(EF,???)＝5：8。 　　由例題一，可以得知： 　　兩個等高的三角形面積的比等於其底邊長度的比。 等高三角形面積比之應用例題 二 等高三角形面積比之應用 例題 二 在右圖△ABE中，D為 eq \o(AB,???) 上一點。 若 eq \o(AD,???)＝3， eq \o(DB,???)＝5，試求： (1) △ADE面積和△DEB面積的比。 (2) △ADE面積和△ABE面積的比。 (3) △DEB面積和△ABE面積的比。 解：作直線EF垂直 eq \o(AB,???) 於F。 (1) 因為△ADE和△DEB有相等的高 eq \o(EF,???)，所以△ADE面積：△DEB面積＝ eq \o(AD,???)： eq \o(DB,???)＝3：5 (2) 因為△ADE和△ABE也有相等的高 eq \o(EF,???)，所以△ADE面積：△ABE面積＝ eq \o(AD,???)： eq \o(AB,???)＝3：8。 (3) 因為△DEB和△ABE也具有相等的高 eq \o(EF,???)，所以△DEB面積：△ABE面積＝ eq \o(DB,???)： eq \o(AB,???)＝5：8。 隨堂練習 隨堂練習 在右圖△ADC中，E為 eq \o(AC,???) 上一點。若 eq \o(AE,???)＝6， eq \o(EC,???)＝10，試求： (1) △ADE面積和△DEC面積的比。 答： (2) △ADE面積和△ADC面積的比。 答： (3) △DEC面積和△ADC面積的比。 答： 同底等高之兩三角形面積例題 三 同底等高之兩三角形面積 例題 三 如右圖， eq \o(DE,???) // eq \o(BC,???)，試比較△DEB面積 和△DEC面積的大小。 解：作直線DH垂直 eq \o(BC,???) 於H。因為△DEB和△DEC有相等的高 eq \o(DH,???)，及