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Kx Ky ?/a -?/a ?/a -?/a k1 k2 k6 k7 k5 k4 k3 k8 mx my md md’ C4 C42 C43 E 二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个 (2) En(k)的简并度 简并：同一k不同态具有相同能量本征值。 简并度：设在k点第n个能量本征值的简并度为dn,则有dn个布洛赫函数 对应于同一个能量 这种情况往往发生在BZ中某些高对称性的点与线上。 这时点群中的某些元素对k运算后保持k不变（或等于k+Kn）， 但这些元素对布洛赫函数作用将产生具有不同对称性的一组函数，它们具有相同的k和本征能量 K波矢群： 点群 中对k运算后保持k不变（或等于k+Kn）的那些对称操作元素的集合所构成的点群 k波矢群不可约表示的维数等于k点能级的简并度dn. 例如：二维正方点阵的波矢群 （i）?点： k=0的波矢群即点群4mm；这个群可分为5个共轭元素类 因此，有5个不可约表示，这些表示的维数n?应满足 Kx Ky ?/a -?/a -?/a 二维正点阵BZ中高对称性的点与线 ? M X ∑ ? Z 其解只可能有： 说明?波矢群有4个一维和1个两维的不可约表示，即4种单重态和1种双重态，在?点 可能有两重简并发生。 （ii）M点 M点波矢经4mm所有群元作用后仍在四角顶点上，波矢群也为4mm，可能有两重简并发生。 （iii) X点 X波矢群应由E，mx, my, C42等4个元素组成。这个群中各个元素自成一个共轭类，因此，有4个一维的不可约表示，说明在X点能带为非简并的。 在 点以及BZ中的一般k点 均为非简并的 ? 对于三维晶格，点群品格表中恒等元素E的特征标将告知波矢群的不可约表示的维数，从而得知 的简并度。 （3）时间反演对称性 时间反演是改变时间符号（ ）的对称操作。 无磁场时薛定谔方程对时间反演操作具有不变性； 经典力学的方程也具有时间反演不变性。 时间反演操作： 布洛赫函数 的时间反演态为 量子力学已经证明时间反演对称性要求上述两态满足同一个H本征方程，并具有相同的能量本征值。 这是著名的克喇末（Kramers）定理。与空间反演对称性无关。 当晶体同时具有空间和时间反演对称性时： 可得： 同一波矢的两个不同自旋状态具有相同的能量； 这一附加的两重自旋简并称为克喇末简并 ? 晶体的空间反演对称性会导致： 5. 点阵傅里叶级数 与周期性结构有关的数学公式 点阵傅里叶级数 ? 设函数f(r)满足周期性边界条件 其中 代表正格基矢， 为元胞数，根据傅里叶展开 ?为元胞体积，k为满足周期性边界条件的波矢。 利用了以下关系： ? 设f(r)是正点阵的周期函数 f(r)可按倒格矢K展开： ? 当f只在正格点l上定义时 用于晶格振动 ? 当f是k空间的函数，并满足 若令 则有 用于瓦尼尔(Wannier)函数 2. 周期函数的格林定理 设u(r)与v(r)均为正点阵的周期函数，则下列等式成立 证明： 设f(r)为任意函数，具有正点阵的周期性，它在在元胞内的积分 应与r’无关。因此 令r’=0，有 若假设 即可证明。 周期性函数的格林定理在能带理论中有重要应用。 固体理论 序论 固体是由大量原子所结合而成的不会流动的宏观体系。 从导电性讲：导体、半导体、绝缘体。 从晶格结构讲：晶态、准晶、非晶态、无系玻璃态。 1. 什么是固体? 2.元激发的概念 ? T=0 K时，固体的基态不仅是能量最低的状态，而且还是某种有序态。 从微观角度分析，实验上所测得的宏观属性是固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应。 ? 对于能量靠近基态的低激发状态，往往可看作成是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激发单元就是元激发，有时也称为准粒子。 T=0 K 外界扰动 E ??, q 3.元激发的分类 元激发大体可分为两类： ? 一类是集体激发的准粒子：声子、磁振子、等离激元等，表现为序参量的微小涨落。这类元激发一般为波色子。 ? 另一类元激发是个别激发：极化子、金属中的屏蔽电子或准电子。 在于从微观上解释固体的各种特性、现象，阐明其规律。 固体理论的主要方法为量子场论的方法。 ? 借助于元激发的引入，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使低激发态的描述变得十分简单。 4.固体理论的基本任务 解释固体的实验测量特性问题归结为求解在给定外扰动作用下互作用系统的元激发问题，这是固体量子论的中心课题。 周期性结构：正格矢、倒格矢、布里渊区。 声子：晶格动力学、声学模、光