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静电场的功能关系 1.4 电势及其梯度 1.4.1 静电场的保守性 保守性 做工与路径无关 1、点电荷的电场 将一检验电荷沿任意路径L从a点到b点，电场力的功 2、任意带电体系的电场 将带电体系分割为许多点电荷元,根据电场的叠加性 电场力做功为： 检验电荷在任意给定的静电场中移动时,电场力对q0 做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。 静电场是保守场，静电场力是保守力 静电场的环路定理 电场强度沿闭合路径的线积分 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分均为0 高斯定理给出静电场为有源场 环路定理给出静电场为保守场 1.4.2 电势差和电势 积分与路径无关 定义一个状态参量 定义一个势函数 电势差 定义P1对P2的电势差： 12为移动单位正电荷由P1→P2电场力作的功 物理意义 电势 若选 b 点的势能为电势零点则a点的电势为： 电场中某点电势：从该点到电势零点电场强度的线积分 电势零点的选择 随便 理论计算有限带电体电势时选无限远为电势零点 实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外壳等 计算无限带电体电势时不能选无限远为电势零点 在确定电势0点后可以建立一个标量场 单位 伏特 量纲 通过电势计算功 电势的计算和例题 例1-11. 点电荷场的电势分布 球对称 标量 例1-12 均匀带电球面电场的电势分布 由高斯定律可得电场强度的分布 取无穷远处为电势零点，积分路径沿矢径方向 球内一点 球外一点 电势分布 等势体 与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同 例1-13无限长带电直导线电场的电势分布 由高斯定律可得电场强度的分布为 无限带电体电势不能选无限远为电势零点选距离直导线 r0 处为电势零点 当 r r0 , U0 ; 当 r r0 , U0 1.4.3 电势叠加原理 电势叠加原理 n个带电体的电场中某点电势等于各带电体单独存在时在该点电势的代数和 电荷系 连续带电体电场中一点的电势 叠加法 例1-14 求电偶极子的电势 例 1-15一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量为q，求在圆环轴线上任一点P的电势 微元点电荷 圆环中心处电势 例 1-16两个同心、均匀带电球面半径分别为R1、R2，分别带有电量q1、q2，求电势分布 利用电势叠加原理 1.4.4 等势面 等势面 静电场中，电势相等的点所组成的曲面 常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的电势差相等 等势面与电场线的关系 等势面与电场线处处正交 电场线指向电势降低的方向 等势面密集处场强大，稀疏处场强小 证明: 沿着等势面电势不变 电场强度与法线在同一直线上即与等势面垂直 同样的电势差间距越小代表电场越大 电势沿法向方向的变化率 常见电场对应的等势面 点电荷的等势面 同心球面 匀强电场的等势面 为垂直于电场的平行平面 由电势和等势面的定义： 始末两点在等势面上，则沿任意路径做功为零 1.4.5 电势梯度 从电势求电场 设两个等势面间沿l方向的电势变化率 沿法线方向电势的变化率最大 电势的最大变化率值等于电场强度 电势 电势梯度 电势梯度是矢量：其量值为该点电势增加率的最大值。方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向 电场中任意点的场强等于该点电势梯度的负值，负号表示场强和电势梯度方向相反 单位 场强的另一个单位 相应的 微分算符 三维直角坐标系 读nabla 对柱坐标系 对球坐标系 例1-17 由偶极子的电势求电场分布 平面极坐标可以看作柱坐标或球坐标的退化 中垂面上 延长线上 例1-18已知均匀带电细圆环轴线上任一点的电势，求轴线上任一点场强