第8章-定性理论与分支理论初步.ppt

定性理论与分支理论初步 一些概念 称x所在的空间Rn为相空间； 称(t,x)所在的空间R1×Rn为增广相空间； v(x)在相空间中定义了一个速度场（向量场）； 该系统的解x=N(t,t0,x0)在增广相空间中的图像称为积分曲线；把t当参数，解在相空间中曲线称为轨线，一般用箭头标明变化方向； 轨线族的拓扑结构图称为相图； 非定常的周期解的轨线是闭曲线，称为闭轨。 例题 1 Liapunov 第二方法 我们讨论了按线性近似决定了非线性方程组零解的稳定性问题，这仅是在零解邻域内的稳定性。我们介绍研究大范围稳定性的Liapunov 方法：不去求解而通过导数的信息来判断稳定性。 例 讨论微分方程组 零解解的稳定性。 令 为解曲线上任意一点到零解的距 离平方，则 a) 定号函数 Liapunov 在他著名的“运动稳定性的一般问题”中创立了解决稳定性问题的两种方法，我们介绍的第二方法是基于能量函数的概念，提出了利用定号函数来直接判定解的稳定性的方法。 Liapunov 稳定性定理 Liapunov 稳定性定理 Liapunov 不稳定性定理 稳定性定理的应用举例 5.5.3 稳定性定理的几何意义 考虑平面几何自治系统 (5.5.6) 并设可以找到一正定的 ，且 常 负。由前边正定函数的几何解释知，如果系统的 任一积分曲线 5.5.4 二次型形式的 函数 定理 5.5 ～5.7 给出了自治方程组零解稳定、渐近稳定及不稳定的充分条件。但这些条件不是必要的，而且也没有具体的构造 Liapunov 函数的一般方法，对于一些具体的系统关于 Liapunov 函数的构造有许多更深入的工作，比如由代数知识知对于平面系统常用二次型作为正定或负定 函数，那么下边的结果是显然的。 例 5.5.3 构造二次型函数证明系统 (5.5.8) 的零解是渐近稳定的。 证明 取如定理 5.8 中的 函数 反映了解曲线上的点 处函数 的大小，从而体现了解曲线上点的位置。 反映了解曲线上点的变化情况。 称为 沿着方程组(10)的解曲线的全导数． 的全导数为 例 求函数 沿着平面自治系统 的全导数。 解：利用公式(11)得此函数 沿着系统(12) 得到证明思路 定理 对于系统(10)，如果可以找到一个 正定的函数 ，且此 函数沿着系统(10) 的全导数 为常负函数或恒等于零，则方程组 (10) 的零解是稳定的。 从几何意义 证明：任取正数 ，由于 续函数， 在有界闭集 上必有最小值， 与 有关且 。 又由于 ，且 连续，必存在 使得当 时， 是正定的连 。而 一个充分小的 有 。 但是，由于 现取初值 ，使 ，并记系统(10)在 时刻从 出发的解为 对于一切的 都有 。若不然， 则必存在一个时刻 使得 因而 。 ， 而 （或恒等于零），所以 。 因而 此矛盾说明对于一切 ，都有 ， 即系统 (10) 的零解是稳定的。 为负定函数，则(10)的零解是渐近稳定的。 定理 对于系统 (10) ，如果可以找到一个正定 函数 ，1）且沿着方程组(10)的全导数 2) 函数沿着系统(10) 的全导数 为常负函数，则方程组 (10) 的零解是稳定的。 定理 对于系统 (10) 如果能找到一个连 续可微函数 ， ，它在点 的任何邻域内至少有一点 ， 那么，如果存在 的某个邻域 ，使得在 中 是正定 （负定）的，则系统 (10)的零解是不稳 定的。 一般是根据经验选取适当的函数，利用待定系 数法来得到需要的Liapunov函数。 例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面系统零 解的稳定性： 解 选取 , 计算得 其中 例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面系统 正平衡解(1,1)的稳定性. 解 选取 , 例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面 系统零解的稳定性； (3) 解 构造 函数 则 显然 在原点邻域是正定的，而 在原点任何邻域有大于零的点。所以，由定理 知，该系统的零解是不稳定的。 (5.5.7) 的初始点 位于闭曲线 之内 （或其上），那么由 常负知， 当 时，其解曲线与闭曲线族 相交时永远不会由某一闭曲线的内部走到它的外 部，否则即与 沿(5.5