量子力学与统计力学课件第7章.ppt

* (15) 组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为 耦合表象。在这个表象中， 都是对角矩阵。 (16) 上式中 称为矢量耦合系数或克来 布希—高登（Clebsch—Gordon）系数。 将 按完全系 展开： (17) * (18) (16)式变为： 4.量子数 和 ，的关系 (19) * 另一方面 的数目可表示为： (21) (20) (22) (23) * (23)式与旧量子论中角动量的求和规则相符合： 两个角动量的耦合 在旧量子论中，两角动量矢量之和由两角动量数值之和变到他们的数值之差，每一步的改变是1。j1, j2和j所满足的关系称为三角形关系，以 表示。 求得j和m后，也就解决了求 的本征值问题，其本征矢可由(18)式求出，其中耦合系数可查表。 例：当第2个角动量为电子自旋角动量（j2=1/2）时的几个矢量耦合系数： * 带入（18）式 (18) * (24) * § 7.5 光谱的精细结构 目的：讨论在没有外场的情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。 不考虑电子自旋与轨道相互作用 类氢原子的哈密顿量： 不考虑核外电子对核的屏蔽 都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象中 的基矢） (1) 其中 是自旋 的本征值， 是磁量子数。 * 电子能级（H0的本征值）En只与n有关，不计电子自旋，这个能级是n2 度简并的。 如果考虑了电子的自旋，ms 可取两个值，因而能级En 是2n2 度简并。 表示电子的总角动量算符， 相互对易，体系的定态也可用 共同本征函数 (2) * 自旋和轨道之间的相互作用能量是： 于是，体系的哈密顿写为： 式子中 哈密顿中的 称为自旋轨道耦合项，由于该项的存在， 和 都不和 对易，所以电子的态不能用量子数 和 来描写。 另一方面 有 所以 都和 对易， 和 都是好量子数。 (6) (5) (4) (3) * 和 对易 和 不对易 和 不对易 的本征值和本征函数由本征值方程推出： 求解方法： 1.采用简并下的微扰理论求解 步骤： 1.零级近似波函数的选择 2.解久期方程 3.求本征值的一级近似及对应波函数的零级近似 可选用无耦合表象的基矢(1)式 可选用耦合表象的基矢(2)式 对角化 选用耦合表象的基矢：省去求解久期方程 (7) * 令 (8) (9) (10) * (9) 能量的一级修正 ： 讨论： 1.自旋轨道耦合使原来的简并的能级分裂开，即简并被消除。 2.但是简并仅部分消除。 当n和L给定后，j可取两个值；j=l±1/2(l=0除外)， 即具有相同的量子数n,l的能级有两个， 它们之间的差别很小，产生了光谱线精细结构。 光谱的精细结构 * 表示n=3，l=1(P项)， 的能级 * 波函数的零级近似 说明：本节的讨论结果仅适用于l0的情况。 l=0时，没有自旋轨道耦合，能级无移动。 * § 7.6 全同粒子的特性 固有性质（质量、电荷、自旋等）相同的粒子称为全同粒子 例：所有电子、所有质子、所有中子、所有光子等 全同粒子 不可区分性 经典粒子可区分性:在经典力学中，即使两个粒子是固有性质完全相同时，能完全区分两个粒子，因它们有自己确定的轨道。 全同粒子不可区分性：在量子力学中，粒子的位置用波函数表示，在位置几率重迭处（无确定轨道），我们无法区分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。 * 全同性原理 由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置 等），不会引起物理状态的改变。 —量子力学中的基本原理之一 公式表示形式： 设体系由N个全同粒子组成 以 表示第i个粒子的坐标和自旋 表示第i个粒子在外场中的能量 表示第i个粒子和第j个粒子的相互作用能量 全同粒子体系波函数的对称性质 * 体系的哈米顿算符： 两粒子互换，哈米顿算符不变 全同粒子体系的薛定谔方程： 再交换 与 (1) (2) (3) (4) * 这表示如果