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第三章 静电能 静电场能量与静电场做功有关！ 系统静电能与系统状态有关！ §3.1 带电系统的静电能与电场的能量 1、点电荷组的静电相互作用能 2、电荷连续分布的带电系统的静电能 3、利用静电能求静电力 4、电场的能量与能量密度 §3.1.1 点电荷组的静电相互作用能 1、真空中N个点电荷组成的点电荷带电系统，电量分别为q1q2..qN，空间位置分别为r1r2..rN，其中i、j点之间距离rij为： 全部rij决定点电荷组中点电荷的相对位置分布。 处于一定电荷分布状态的点电荷组具有与rij有关的能量。这种与点电荷之间相对位置有关的点电荷组能量，称为点电荷组的静电相互作用能。 2、点电荷组W互的具体表达式 （1）讨论相距r12的两个点电荷q1和q2组成的点电荷组，从无穷远处状态到相距r12状态，外力克服电场力所做的功与两点电荷移入的次序无关，只与点电荷组终态的状态参数q1、q2和r12相关。如前所述，这个功就等于两个点电荷的点电荷组的静电相互作用能W互，即 （2）N个点电荷组的W互 由两个点电荷组的静电相互作用能公式推广到N个点电荷组，可以对这N个点电荷进行不重复的组对，然后把每对点电荷的静电相互作用能加起来，即可得到N个点电荷组成的点电荷组的静电相互作用能W互。 式中， 是第j个点电荷在第i个点电荷 处产生的电势。rji是第j个点电荷到第i个点电荷的距离。 由于第j个点电荷与第i个点电荷组成的点电荷对的相互作用能相等， 由此可得N个点电荷组的静电相互作用能W互为： 定义 为点电荷组中除qi外其他点电荷在qi处产生的电势代数和，即点电荷组中除qi外其他电荷在qi处产生的电场电势。由此上式可写成： §3.2 电荷连续分布的带电系统的静电能 对一个体电荷连续分布的带电体，体积设为V，所带电荷设为q，电荷在带电体中的分布情况由体电荷密度ρ描述，我们设想把其分割成许多小体电荷元ΔVi，这些体电荷元都可以视为点电荷，因此可得带电体的相互作用能 式中，Ui(ri)为除第i个电荷元以外带电体其他电荷在ri处产生的电势。 1、带电体的静电能We 对带电体内电荷无限分割时，即过渡到体积分： 这里，U(r)包括电荷元ρdV在内的带电体全部电荷在r处产生的电势。故 U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是ρdV在自身r处产生的电势，可以证明，dU趋于0。 因此，带电体的静电能包括带电体内电荷元之间的相互作用能和电荷元内的电能。 2、N个带电体的系统的静电能 设N个带电体的体积为V1,V2..VN，它们在空间r处产生的总电势为 其中，Ui(r)是除了第i个带电体的电荷以外其余所有电荷在r处产生的电势，U(i)(r)是第i个带电体的电荷在r处产生的电势。 则N个带电体组成的带电系统的静电能为： We=W互+W自 其中， 这里，W自(i)是第i个带电体的静电能，并称为第i个带电体的自能。 W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能，简称系统的互能。 带电体的相互作用能的讨论 如果系统内带电体体积Vi非常小，以至于其他带电体在Vi内产生的电势Ui(r)在Vi内各点近似相等，即Ui(r)=Ui，则系统的相互作用能为： 这和点电荷组的相互作用能完全一致。 带电体的自能的讨论 对点电荷和线电荷的自能的讨论 点电荷的自能无限大，即自能是发散的。因此讨论点电荷组的电能时，只讨论互能。点电荷的自能为无限大表明，真正的点电荷实际上是不存在的。 线电荷的自能也是无限大，这表明线电荷只是一种近似模型，真正的线电荷是不存在的。 3、带电面的静电能 带电导体的电荷分布在表面上，因此求带电导体的静电能是求面电荷分布的带电系统的静电能。对面电荷系统的静电能为： 这里U(r)为带电面上r处的电势。对于带电导体，导体表面是等势面，因此其静电能为： 4、N个带电面的带电系统静电能 由N个带电面组成的带电系统的静电能为： 如果是N个带电导体表面，注意到导体表面是等势面，则其静电能为： 5、带电体的电势能 带电体或带电系统的电势能是我们研究的带电体同产生外电场的带电系统之间的相互作用能。 由此，两个带电系统之间的相互作用能为： 其中，U1(r1)为外电场在r1处产生的电势，U2(r2)为研究的带电体在r2处产生的电势。 因此，可得： 即两个带电系统彼此在对方产生的电场里，它们之间产生的相互作用能可以称为一个带电系统在另外一个带电系统产生的电场里的电势能，且它们相等。即我们研究的带电体的电势能为： N个带电体的电势能 当带电体体积V很小时，可认为外电场的电势在V内是相等的，如点电荷，则这个带电体在外电场中的电势能为： 对于由N个体积很小的带电体