电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理.pptVIP

作业情况 1班：人 2班：人 合计：人 情况: summary * Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波 2011. 09.15 Review 位置矢量: 任意矢量 A: 点积: 叉积: 微分长度 : 微分体积 : 微分面积: Main topic 梯度和散度 1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理 1. 标量场的梯度 在研究标量场时，常用等值面形象、直观地描述物理量在空间的分布状况。 等值面方程 特点：等值面族；充满场所在的整个空间；互不相交 1).标量场的等值面 2). 方向导数 标量场的等值面只描述了场量 u 的分布状况，而研究标量场的另一个重要方面，就是还要研究场量 u 在场中任一点的领域内沿各个方向的变化规律。为此，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。 (1). 方向导数的概念 M0 M ?l l 方向导数是标量场u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率。 方向导数值既与点M0有关，也与l的方向有关。因此，标量场中，在一个给定点M0处沿不同的l方向，其方向导数一般是不同的。 (2). 方向导数的计算公式 M0 M ?l l 设l方向的方向余弦是cos?、cos?、cos?，即 则： 3). 梯度 标量f(x,y,z)等于常数的空间曲面称为标量场的等值面。函数值相等的点构成的曲面。 电势V沿ln方向的方向导数最大 ①梯度的概念 标量场在某点的梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向（与等值面垂直，且指向标量场增大的方向）。 沿任意方向的方向导数（变化率）？ 标量函数在任意方向l上的变化率等于梯度在该方向的投影。 某点的梯度的性质： （1）垂直于给定函数的等值面。 （2）指向给定函数在某位置变化最快的方向。 （3）它的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。 （4）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与该方向单位矢量的点积（标积）。 可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可以求出任意方向 的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位矢量 的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个矢量场，它全面地刻画了标量场的空间变化特征。 ②梯度的计算 直角坐标系 ▽称为“del”算子 球坐标系 圆柱坐标系 广义坐标系 梯度运算符合以下规则： C为常数 例 1 已知标量场 求（2，1，3）处方向导数的最大值。 那么在（2，1，3）处的梯度为 其模为 因此，在（2，1，3）处方向导数的最大值为（117）1/2 解 根据梯度的定义 例 2 例 3 设标量 ?=xy2+yz3, 矢量 试求标量函数?在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。 解 已知梯度 那么，在点（2，-1，1）处?的梯度为 因此，标量函数?在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数为 例 场点 P (x, y, z) y 源点 P’ (x’,y’,z’) z x O 计算 解 同理可得 2. 矢量场的散度 A B 通量线 or 流线 源 and 汇（洞） 净通量 矢量场 电力线 矢量的通量 如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数?0之比： 高斯定理 闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······ 根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正负特性，以及存在与否。 通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性，如何显示源的特性呢？？？ 5C 5C 3C 4C -2C 1) 散度的概念 当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，记为： 式中，?V为闭合面S包围的体积。 ①如果矢量场F每一点的散度都有定义，则形成一个标量的分布（标量场)称为矢量F 的散度场，描述源的强度在空间的分布，矢量场的变化. ②散度是描述矢量场的变化特性的物理量，矢量场的变化由源引起的，某点的散度就是该点处源（通量源）的强度.若散度大于零，则该点有发出矢量线的正通量源；若散度小于零，则该点有汇聚矢量线的负通量源；若散度为零，则该点无通量源。 2) 散度计算方法 直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 广义坐标系 散度运算规则 直角坐标系中 拉普拉斯算子 例 求到任一点的位置矢量的散度。 解 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，记为 ①数学上看，利用散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之。 ②场的观点看，散度定理建立了区域中的场与包围该区域的边界上的场之间的关系。 3. 散度定理 例 已知 判断散度定理是否适用于图中所