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2015北大自主招生数学试题 第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 5 页 一.选择题 1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1，则(1+)(1+)(1+)可能取到的值为（ ? ? ? ?） A．16900 B．17900 C．18900 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（ ? ? ? ?） A．3524 B．3624 C．3724 3.已知x∈[0,]，对任意实数a，函数y= ?2acosx+1的最小值记为g(a)，则当a取遍所有实数时，g(a)的最大值为（ ? ? ? ?） A．1 B．2 C． 4.已知?是的整数倍，则正整数n的最大值为（ ? ? ? ?） A．21 B．22 C． 5.在凸四边形ABCD中，BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD的面积等于，则CD的长（精确到小数点后1位）为（ ? ? ? ?） A．6.9 B．7.1 C． 二.填空题 6.满足等式的整数x的个数是_______． 7.已知a,b,c,d∈[2,4]，则 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x∈[1,5],|+px+q|≤2,不超过的最大整数是__________ 9.设x=,y=,z=,且x+y+z=1，则的值为___ 10.设都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知||为奇数，1≤i≤n,||为偶数，1≤i≠j≤n，则n的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{}为正项等比数列，且=5,求的最小值 12.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))成正项等比数列，求证：f(a)=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC的三边满足abc， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为 14.从O出发的两条射线，已知直线交于A、B两点，且=c(c为定值),记AB的中点为X， 求证：X的轨迹为双曲线 15.已知(i=1,2,3,…,10)满足：=30，21，求证：，使得1 ##Answer## 1．1+=xy+yz+zx+=(x+y)(x+z)，同理1+=(y+z)(y+x),1+=(z+x)(z+y) (1+)(1+)(1+)=，对照前三个答案，只有A是一个完全平方数 检验，不妨取x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解x=5,y=?3,z=8.选A 2.考虑将1,2,?,99这99个正整数分成如下50组 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而 (1,99),(2,98),?,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,?,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,?,98,99满足题意，此时50+51+?+98+99=3725。故选D． 3.令t=cosx，令h(t)=?2at+1,t∈[0,1],g(a)=作图象知最大值为1，选A 4. ?=(-1)=(+1)(-1)=(+1)(+1)(5-1)(+5+1), +5+1是奇数，5-1=4是，+1=+1被4除余数为2，同理+1被4除余数也是2，于是n的最大值为24，选D 5.设四边形ABCD的面积为S，直线AC,BD的夹角为θ，则 S= AC?BD?sinθ（AB?CD+BC?AD）sinθ≤（AB?CD+BC?AD）,由已知两个等号成立，于是 于是AC⊥BD，BC⊥CD。用坐标法解得CD=4≈6.9。选A． 6.x0时，=,无解 x0时,x为负整数，设x=-n, ====是n的单调函数n-1=2015x=-2016。填1 7.设=(a,d),=(b,c)，二者夹角为θ，则所求为=，如图 0≤θ≤∠AOB1≥cosθ≥cos∠AOB==≤≤1。填 8.设y=f(x)=+px+q,x∈[1,5]，它可以由y=,x∈[-2,2]平移得到，y=最值之差为4，根据|+px+q|≤2，只能平移到顶点在(3,-2)处，有；同理也满足条件，=，不超过它的最大整数为9.填9 9.x+y+z=1 (a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)=0 不妨设a≤b≤c，则c=a+b，于是