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全国中考数学压轴题及答案精选
2
1. (12 分)(2013•白银)如图,在直角坐标系xOy 中,二次函数y=x + (2k ﹣1)x+k+1 的
图象与x 轴相交于O、A 两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB 的面积等于 6,求点B 的坐
标;
(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P
的坐标,并求出△POB 的面积;若不存在,请说明理由.
参考答案:
考 二次函数综合题.
点:
分 (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出k 的值,也就得出了抛物线的解析式.
析: (2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A 点的坐标,也就求出了OA 的长,根
据△OAB 的面积可求出B 点纵坐标的绝对值,然后将符合题意的B 点纵坐标代入抛物
线的解析式中即可求出B 点的坐标,然后根据B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出
的B 点是否符合要求即可.
(3)根据B 点坐标可求出直线OB 的解析式,由于OB⊥OP,由此可求出P 点的坐标特
点,代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标.求△POB 的面积时,可先求出 OB,OP
的长度即可求出△BOP 的面积.
解 解:①∵函数的图象与x 轴相交于O,
答: ∴0=k+1,
∴k= ﹣1,
∴y=x2 ﹣3x,
②假设存在点B,过点B 做BD⊥x 轴于点D,
∵△AOB 的面积等于6,
∴AO•BD=6,
当0=x2 ﹣3x,
x (x ﹣3)=0,
解得:x=0 或3,
∴AO=3,
∴BD=4
即4=x2 ﹣3x,
解得:x=4 或x= ﹣1 (舍去).
又∵顶点坐标为:( 1.5,﹣2.25).
1
∵2.25<4,
∴x 轴下方不存在B 点,
∴点B 的坐标为:(4,4);
③∵点B 的坐标为:(4,4),
∴∠BOD=45°,BO= =4 ,
当∠POB=90°,
∴∠POD=45°,
设P 点横坐标为:﹣x,则纵坐标为:x2 ﹣3x,
即﹣x=x2 ﹣3x,
解得x=2 或x=0,
∴在抛物线上仅存在一点P (2,﹣2).
∴OP= =2 ,
使∠POB=90°,
∴△POB 的面积为: PO•BO= ×4 ×2 =8.
点 本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识.利用已
评: 知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键.
2
2. (12 分)(2013 兰州)如图,在平面直角坐标系xOy 中,A、B
x y
为 轴上两点,C、D 为 轴上的两点,经过点A、C、B 的抛物线 y M
的一部分C1 与经过点A、D、B 的抛物线的一部分C2 组合成一条
封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点 C 的坐标 D
3
− 2
2 y mx −2mx −3m m
为(0, ),点M 是抛物线C2: ( <0)
的顶点. A O B x
(1)求A、B 两点的坐标;
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