数学建模经典问题——旅行商问题.ppt

* 3. 双生成树算法 Step 1.　首先求出最小生成树。 Step 2.　将树中各边都添一重复边形成Euler图，并求出其Euler回路。 Step 3.　在Euler回路点序列中去除重复点，形成TSP回路解。 适用范围：对称型△TSP。 最坏情况：ε= 2； 时间复杂度：O (n2)。 * 4 Christofides算法 Step 1.　首先求出最小生成树。 Step 2.　对树中所有奇顶点求解最小权匹配问题。 Step 3.　将匹配边添入生成树，并求出其Euler回路。 Step 4.　在Euler回路点序列中去除重复点，形成TSP回路解。 适用范围：对称型△TSP。 最坏情况：ε= 3/2； 时间复杂度：O (n3)。 * 5. r-opt 算法 该方法是一种局部改进搜索算法，由Lin等人（1965）提出，其核心思想就是对给定的初始回路，通过每次交换 r 条边来改进当前的解。 适用范围：对称型△TSP。 显然，对不同的r，其优劣次序为：2-opt，3-opt…r-opt。 但是，大量计算发现，3-opt比2-opt好，而4-opt、5-opt等却并不比3-opt来得优越，况且r越大，运算时间越长。 对于3-opt，有一个经验公式告诉我们，其求得最优解的概率近似为2- n/10，例如，对于n = 50, 有 p = 2- 50/10 = 0.03，即，只要随机选取150条初始路线，则求得最优解的概率可达0.99。 迄今为止，3-opt法仍是一种相当有效的近似算法。 最坏情况: ε= 2 (n≥8, r≤n/4) ； 时间复杂度：O (nr )。 * 6. 混合算法 用某个近似算法求得初始解，然后借助一个或若干个r-opt算法对解加以改进。这种混合型的算法往往能获得较好的解，但同时也很耗时，一般仅在对解有较高要求时采用。 * 2-opt 交換法 先构建一个起始可行解 在可行解中任选两个不相邻的节线(a ?b, c ?d)，以及另外两条对应之替换节线(a ?c, b ?d)，计算替换后总成本是否降低 (即检查替换成本是否小于0)。 ?替换成本：Cac+Cbd-Cab-Ccd (对称型TSP) 若替换后总成本有降低，则予以替换，同时变更中间相关弧线的行走方向。 重复步骤2~3，直到所有可能的替换均无法再降低成本为止 * 2-opt 交換法 1 4 2 3 5 7 4 3 8 7 5 5 3 4 8 * 如：98年全国数学建模竞赛题B题是TSP问题的一个变形 从县城出发分三个小组巡视受灾的地区各地的灾情，已知每个村镇所需要的停留时间以及行车速度，问如何设计各组的巡视路线才能以最快的速度掌握整个地区全部的受灾情况？ * 灾情巡视路线(CUMCM-1998B) 多人TSP问题的扩展 * 考虑用一个3个结点来代替县城结点，将问题转化为一个TSP问题： * 再将三点收缩成一点，就得到一个三个巡视组的TSP巡视路线 接下来的工作是要均衡各个巡视小组的工作时间（十分复杂的工作！） * The End Thanks 谢谢大家！ 感谢您的观看！ * e63 = e46 = 1下的缩减矩阵： * e63 = e46 = 1，e21 = 0下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e21 = 1下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e21 = 1，e14 = 0下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e21 = e14 = 1下的缩减矩阵： * e63 = e46 = 1，e21 = e51 = 0下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e51 =1，e21 = 0下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e51 = 1，e21 = e14 = 0下的缩减矩阵： * e63 = e46 = e51 = e14 = 1，e21 = 0下的缩减矩阵： * 最后可得到两个最优TSP回路：(1, 4, 6, 3, 2, 5, 1) 和 (1, 4, 6, 3, 5, 2, 1)，最优回路长度为104。 若将无向图中的每条边看成有向图中方向相反的两条边，则无向图也可看成是有向图，因此，基于降阶的分支定界法也可用来求解无向TSP问题。 * 三、动态规划法 定理1 TSP满足最优性原理。 最优化原理可以表述为：“一个过程的最优策略具有这样的性质,即无论初始状态和初始决策如何,对于先前决策所形成的状态而言,其以后的所有决策必构成最优策略，” * 证： 设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条总长