注册电气工程师考试之无穷级数和微分方程.PPTVIP

1.数项级数及收敛定义： 2.无穷级数的基本性质 性质3. *例1.判断级数的敛散性: (比较审敛法) (比较审敛法的极限形式) 4.交错级数及其审敛法 5.绝对收敛与条件收敛 例5. 证明下列级数绝对收敛 : 1.Abel定理 若 例8..求幂级数 例9. 求下列幂级数的收敛域 : 例10. 函数展开成傅里叶级数 定理 (收敛定理, 展开定理) 例1. 验证函数 分离变量方程的解法: *例2. 求微分方程 一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例4. 解方程 例5. 例6. 求解 例7. 求解 *例8. 解初值问题 二阶线性齐次方程解的结构 定理 2. 例9. *例11. 二阶线性非齐次方程解的结构 *例14. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 例15. 微分方程 一、微分方程的基本概念 二、解微分方程 三、微分方程应用 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 一、微分方程的基本概念 的阶. 例如： 一阶微分方程 二阶微分方程 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. 初始条件(或边值条件): 的阶数相同. 特解 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 是微分方程 的解. 解: 是方程的解 . 二、解微分方程 1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性 2. 高阶微分方程 可降阶微分方程，二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。 (2)两边积分 ① ② (3)得到通解 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. (1)分离变量 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 因此可能增、 减解. 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解 *例3. 利用一阶线性方程的通解公式得： 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 解: 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 (自证) 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 二阶线性常系数齐次微分方程求解 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例10. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例12. 解：因 是一个特解，所以 是特征 方程的重根，故特征方程为： 所对应微分方程为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . ② ① (2) 若? 是特征方程的单根 特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 特解形式为 (1) 若 ? 不是特征方程的根 特解形式为 的特解形式. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 特解形式为 例13. 例13. 的特解形式. 解: 本题 而特征方程为 其根为 特解形式为 三、微分方程应用 1. 利用导数几何意义列方程 2. 利用导数物理意义列方程 3. 利用牛顿第二定律 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, * 无穷级数 一、数项级数 二、幂级数 讨论敛散性 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。 三、傅立叶级数 求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。 一、判断