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8-8.验证下述R-K方法是三阶方法. 证明 因为 所以有 又因为 于是有: y(xn+1)-yn+1=O(h4) 即,差分公式是三阶方法. 8-11.对试验方程y?=-?y,?0,证明如下方法的绝对稳定性条件 证明 (1)改进Euler公式为: (1)改进Euler方法: (2)四阶标准R-K方法: 故改进Euler方法的绝对稳定条件为 (1)四阶标准R-K公式为: 故四阶标准R-K方法的绝对稳定条件为 的局部截断误差主项和阶. 8-12.确定两步方法 解 所以有 又因为 所以 因此,公式的局部截断误差主项为 公式为二阶方法. 8-13.试求系数?,?0,?1,使两步方法 的局部截断误差阶尽可能的高,并写出局部截断误差主项. 解 所以有 当?=1/2,?1=-1/4,?0=7/4时阶最高,为二阶方法.截断误差的主项为 8-15.对微分方程y?=?(x,y)沿区间[xn-1,xn+1]积分得 解 Simpson求积公式为 试用Simpson求积公式近似右边积分,导出Milne-Simpson差分公式,并说明方法的阶. 所以差分公式 易见,此公式是四阶方法. 简述学习数值分析课程的体会。 课 堂 练 习 注1: 可从与其他课程的区别论述;也可从对某一章节或某一问题的体会论述;或从对授课方面的看法论述;只要与课程相关的论述均可。 注3: 不许抄袭, 如有雷同, 视为作弊; 下课前交. 注2: 作为平时成绩的一个依据。 设函数?(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程?(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk=?(xk),k=0,1,2,…计 算精度为?=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. 解 (1)因为0x?1时,?(x)0,x?2时,?(x)0,所以?(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x2时,??(x)0,故?(x)单调.因此方程?(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: 由于|??(x)|=| |1,故此迭代法收敛. 课堂练习 取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值??x2=1.40983. ?0 (3)因为0??/2,所以??(?) 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1). 5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值. 解 作位移矩阵B=A-7E ,建立计算公式: Bv(k)=u(k-1) ?k=max(v(k)) u(k)=v(k)/?k ,k=1,2,…. 取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下: k 0 1 2 3 4 5 6 7 u1(k) 1 1 1 1 1 1 1 1 u2(k) 1 0.75 0.7222 0.7162 0.7148 0.7144 0.7143 0.7143 u3(k) 1 -0.4 -0.8044 -0.9403 -0.9828 -0.9951 -0.9987 0.9998 ?k -2 -1.125 -1.0278 -1.0067 -1.0018 -1.0004 -1.0000 取??7+1/?7=6 5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值,其中 解 记 取p=1,q=2,则有 cos?=(1+t2)-1/2=0.7071, sin?=tcos?0.7071 类似地有 所以取 ?1?7.37228 ,?2?2.99991 ,?3?1.62781 5-10.设矩阵H=E-2xxT,向量x满足xTx=1,证明: (1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=E; (3)H为对合矩阵,即H2=E. 证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称. 6-1.当x=1,-1,2时,?(x)分别为0,-3,4,求?(x)的二次插值多项式p2(x). (2)因为HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H
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