高等数学在实际生活中的应用.doc

. .. 高等数学知识在实际生活中的应用 一、数学建模的应用 数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。 （一）数学建模的一般方法和步骤 （1）了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。 （2）对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。 （3）建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。 （4）对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。 （5）模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。 归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明： 问题 假设 建模 分析 应用 检验、修改 图1 （二）数学建模的范例 例 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？ 这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？ 先建立一个非常简单的模型： A黑板 a A 黑 板 a B b D C 图2.3-1 先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a米和b处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 设学生D距黑板米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为。 由假设知： 所以，当且仅当时，最大，从而视角最大。从结果我们可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。 y A y A B D x O 图2.3-2 模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与水平面成角，以黑板所在直线为轴，以水平线为轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线OE的方程（除原点）为： 若学生D距黑板的水平距离为，则D在坐标系中的坐标为， 则： 所以 设，要使最大，只要最小就可以了。对求导得： 当时，，则随的增大而增大；当时，，则随的增大而减小，由因为是连续的，所以当时，取最小值，也就是时，学生的视角最大。 通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服），等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模