专题：解析几何中的动点轨迹问题.doc

. .. 专题：解析几何中的动点轨迹问题 学大苏分教研中心 周坤 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧... Part 1 几类动点轨迹问题 动线段定比分点的轨迹 例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，，求点P的轨迹。 ； 例2 已知定点A(3,1),动点B在圆O上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程. 所以点P的轨迹为 两条动直线的交点问题 例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线，设长为的线段AB在上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程 例4 已知是双曲线的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线与的交点P的轨迹 动圆圆心轨迹问题 例5 已知动圆M与定圆相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹 例6 已知圆，，圆M与圆和圆都相切，求动圆圆心M的轨迹 动圆锥曲线中相关点的轨迹 例7 已知双曲线过和，它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹 例8 已知圆的方程为，动抛物线过点和，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程 Part 2 求动点轨迹的十类方法 一、直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。 OYxNMA O Y x N M A 解 设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MN⊥L于N， 由　｜MA｜＋｜MN｜＝4，得 当x≧3时上式化简为　y2=－12(x-4) 当x≦3时上式化简为 y2=4x 所以点M的轨迹方程为　y2=－12(x-4)　 (3≦x≦4) 和y2=4x (0≦x≦3). 其轨迹是两条抛物线弧。 例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N， 则有 ， 即 ， ． 整理得，这就是动点M的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现． 例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上． 例4 若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_____________________ 解 设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是 例5 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） （A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆 解 设动圆圆心为M，半径为r，则有 所以 动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）． 三、转移法（重中之重） 若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。 例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求ΔF1F2P的重心G的轨迹方程。 解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0, y0）， 因为F1（-5，0），F2（5，0） 则有 , ， 故代入 　 得所求轨迹方程　（y≠0） 例7 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任