数值分析复习题答案合并整理(年）(1)(2).docVIP

1、用迭代法求解方程的根有什么讲究? 怎样刻画其收敛的速度？答：将方程化为等价方程的方法不唯一，导致迭代函数不唯一，即迭代格式不唯一。因此要选择合适的迭代格式，即要收敛且收敛的速度要快。用收敛阶来刻画其收敛速度， 2、求方程的根有哪些常用方法，各方法有哪些优缺点？ 二分法：优点：计算简单，方法可靠，容易估计误差。缺点：收敛较慢，不能求偶次重根和复根。迭代法：优点：计算简单，精度高。缺点：收敛速度要求高。 牛顿迭代法：优点：收敛快，稳定性好，精度高。缺点：每次迭代均需要计算函数值与导数值，计算量大，但求导数有困难时，此方法不能用。 3 、用迭代法求根的终止条件是什么？迭代结束条件常用Eξ（精度）E={IXk -Xk-1I if I XkI=1; IXk -Xk-1I/ I XkI I XkI1 4、简述插值问题与曲线拟合问题的异同点。相同点：它们都是求函数的近似多项式。不同点，在节点上，插值多项式的值与函数值相同，而拟合可以再多个节点条件下作较低次的近似多项式。在处理数据很多，数据不准确问题的时候，插值法不可取，在远节点插值效果有时会很差，节点数通常都6，常导致不相容方程出现。由于误差较大，此时要求近似函数过全部已知点，相当于保留了全部数据误差。而拟合则更接近原函数，误差小。 5、你知道哪几种插值法，各自的特点和优缺点如何？拉格朗日插值：计算量较小，程序简单，如果在插值多项式中改变插值次数，则需重新计算 牛顿插值：计算量较大，程序较复杂，但如果在插值多项式中增加一个节点，只需在后面添加一项即可。等距节点插值：插值多项式可以简洁表示，使用节点少就能达到要求精度。Hermite 插值：能提高光滑性，但其需预先知道导数值，实际中导数不易提取。样条插值：光滑程度高，具有良好的收敛性，但其计算复杂，稳定性不如分段插值。 6、插值多项式的次数越高是否越逼近被插值函数，龙格现象是什么？是否一定会发生？ 不一定发生 7、何谓Hermite 插值问题，你知道的有公式解的Hermite插值条件是什么？ 当只有一个节点时，H(x)即为泰勒多项式。 8、三次样条插值与分段低次插值有何区别，二者各有有何优缺点？ 分段低次插值是局部化分段插值，即在每个小区间上直接构造低次插值多项式，而三次样条插值，是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段插值多项式。分段低次插值的稳定性与收敛性，计算简便，但光滑成都较差，而三次样条插值光滑性好，并且有良好的收敛性，但计算复杂，稳定性不如分段插值好。 9、最小二乘拟合多项式是如何得到的？答：选取一个函数最小二乘拟合多项式 然后求出 代入方程 解出 即可 10、函数拟合问题你知道几种方法? 各自的特点和优缺点如何？最小二乘法：可能出现病态方程组，求解非线性问题困难。正交多项式：不需要联解大型方程组，算法复杂度不高，较可靠。可避免病态方程组出现。最佳平方逼近，最佳一致逼近：是在整个区间上求拟合，精度更高。 11、最佳平方逼近与最小二乘拟合有区别吗？最佳平方逼近的误差是在在欧氏范数(2范数)的意义下尽可能小，他是在整个区间上尽可能好的逼近多项式，而最小二乘法是离散点处的误差在欧氏范数(2范数)的意义下尽可能小。 12、函数内积是什么？你知道哪些正交函数系。 13.最佳平方逼近与最佳一致逼近问题有何区别？ 最佳平方逼近的误差在欧氏范数(2范数)的意义下尽可能小；最佳一致逼近的误差在无穷范数的意义下尽可能小。 14.用迭代法求解方程组的解，你知道哪种方法？其收敛性如何判定？ 15.何谓病态方程组？其病态指标是什么？当方程组Ax = b的系数矩阵与右端向量b的微小变动（小扰动）而引起解严重失真时，称此方程组为病态方程组。方程组或矩阵A的条件数，记作 Cond(A)越大，A的病态程度就越严重。 16.常用范数有哪些？常用的向量范数（2范数、1范数、无穷范数）和常用的矩阵范数（无穷范数、1范数、2范数、F范数、E范数） 17.采用消元法解方程组如何保持方法的数值稳定性？一般如何选取主元？采用全主元素法或列主元素法同样具有良好的数值稳定性。 18.矩阵的三角分解是指什么分解？ 只要高斯消元可进行的到底，则A可分解为一个单位下三角矩阵和上三角矩阵之积，此分解成为Doolittle（道立特）分解，常称为三角分解。（A为一个m*n矩阵） 19.什么是一般的迭代格式？什么是迭代矩阵？ 设方程f(x)＝0在隔根区间[a,b]内有一根,将方程化为等价方程x=Φ(x),并在[a,b]内任取一点作为初始近似值，然后按迭代公式计算：，此公式称为迭代格式 20.你知道哪几种方程组的迭代方法？其迭代格式是如何得到的？雅可比法和高斯