含参数一元二次不等式解法以及含参不等式恒成立问题(专题).doc

含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即; 例1 解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵ 解得方程 两根 ∴当时,解集为 当时，不等式为,解集为 当时, 解集为 例2 解不等式 分析 因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 当时，解集为；当时，解集为 二、按判别式的符号分类，即； 例3 解不等式 分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。 解：∵ ∴当即时，解集为； 当即Δ＝0时，解集为； 当或即,此时两根分别为，，显然, ∴不等式的解集为 例4 解不等式 解 因 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为R。 三、按方程的根的大小来分类，即； 例5 解不等式 分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：，令，可得： ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，,可得其解集为； 当或时, ,解集为。 例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小. 解 原不等式可化为：，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为 含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有 1）对恒成立; 2）对恒成立 例1：若不等式的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意； （2）时，只需，所以，。 例2．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。 所以实数的取值范围为。 若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）恒成立 2）恒成立 例3、若时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 当即：时， 又所以不存在； 当即：时， 又 当 即：时， 又 综上所得： 例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解：若对任意，恒成立， 即对，恒成立， 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得 而抛物线在的最小值得 注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。 例5：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。 解析：由 ，，恒成立，，即恒成立， 例6：求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：由于函，显然函数有最大值，。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）恒成立 2）恒成立 。 例7、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：令， 所以原不等式可化为：， 要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 例8、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 解：根据题意得：在上恒成立， 即：在上恒成立， 设，则 当时， 所以 例9．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。 解： 将问题转化为对恒成立。 令，则 由可知在上为减函数，故 ∴即的取值范围为。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例10．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。 例11、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。 解：设，对满足的，恒成立， 解得： 五、数形结合