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课时提升作业(二十一)
倍角公式和半角公式
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2015·上饶模拟)设sin QUOTE = QUOTE ,则sin2θ= ( )
A.- QUOTE B.- QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选A.sin QUOTE = QUOTE (sinθ+cosθ)= QUOTE ,sinθ+cosθ= QUOTE ,两边平方得,1+2sinθcosθ= QUOTE ,故sin2θ=- QUOTE
2.(2015·合肥模拟)函数f(x)=sinxsin QUOTE 的最小正周期为 ( )
A.4π B.2π C.π D. QUOTE
【解析】选C.因为sin QUOTE =cosx,
所以f(x)=sinxcosx= QUOTE sin2x,则T= QUOTE =π,所以函数f(x)的最小正周期T=π.
3.(2015·榆林模拟)已知向量a= QUOTE ,b=(4,4cosα- QUOTE ),若a⊥b,则sin QUOTE = ( )
A.- QUOTE B.- QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
【解析】选B.a·b=4sin QUOTE +4cosα- QUOTE
=2 QUOTE sinα+6cosα- QUOTE
=4 QUOTE sin QUOTE - QUOTE =0,
所以sin QUOTE = QUOTE .
所以sin QUOTE =-sin QUOTE =- QUOTE .
4.设函数f(x)=sin QUOTE +cos QUOTE ,则( )
A.y=f(x)在 QUOTE 上是增加的,其图像关于直线x= QUOTE 对称
B.y=f(x)在 QUOTE 上是增加的,其图像关于直线x= QUOTE 对称
C.y=f(x)在 QUOTE 上是减少的,其图像关于直线x= QUOTE 对称
D.y=f(x)在 QUOTE 上是减少的,其图像关于直线x= QUOTE 对称
【解析】选D.因为f(x)=sin QUOTE +cos QUOTE
= QUOTE sin QUOTE = QUOTE cos2x,
所以f(x)在 QUOTE 上是减少的,且图像关于x= QUOTE 对称.
【加固训练】已知函数f(x)=sin QUOTE - QUOTE cos QUOTE ,x∈R,则f(x) ( )
A.周期为π,且图像关于点 QUOTE 对称
B.最大值为2,且图像关于点 QUOTE 对称
C.周期为2π,且图像关于点 QUOTE 对称
D.最大值为2,且图像关于x= QUOTE 对称
【解析】选B.f(x)=sin QUOTE - QUOTE cos QUOTE
=sin QUOTE - QUOTE cos QUOTE
=sin QUOTE - QUOTE cos QUOTE
=2 QUOTE
=2sin QUOTE =2sin QUOTE ,
因为x∈R,所以x- QUOTE ∈R,
所以-1≤sin QUOTE ≤1,则f(x)的最大值为2.
因为ω=1,所以周期T= QUOTE =2π.
当x- QUOTE =kπ(k∈Z)时,f(x)图像关于某一点对称,
所以当k=0时,求出x= QUOTE ,即f(x)图像关于 QUOTE 中心对称,故选B.
5.已知函数f(x)=sinx+2 QUOTE cos2 QUOTE ,设a=f QUOTE ,b=f QUOTE ,c=f QUOTE ,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.abc B.cab
C.bac D.bca
【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.
【解析】选B.f(x)=sinx+2 QUOTE · QUOTE =sinx+ QUOTE cosx+ QUOTE =2sin QUOTE + QUOTE ,
因为函数f(x)在 QUOTE 上单调递增,所以f QUOTE f QUOTE ,而c=f QUOTE =2sin QUOTE + QUOTE =2sin QUOTE + QUOTE =f(0)f QUOTE ,所以cab.
【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.
6.(2015·郑州模拟)设函数f(x)= QUOTE cos(2x+φ)
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