函数的周期性对称性.doc

资料 . 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 3.函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、 图象关于直线对称 推论1： 的图象关于直线对称 推论2、 的图象关于直线对称 推论3、 的图象关于直线对称 2、 的图象关于点对称 推论1、 的图象关于点对称 推论2、 的图象关于点对称 推论3、 的图象关于点对称 例题分析： 1．设是上的奇函数，，当时，，则等于 ( ) （A）0.5 （B） （C）1.5 （D） 2、（山东）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．设是定义在上的奇函数，求 4．函数对于任意实数满足条件，若，则___ 5．已知是定义在上的奇函数，且它的图像关于直线对称。 （1）求的值；（2）证明是周期函数； （3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。 6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式． 巩固练习： 1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集为(　　) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3. 其中所有正确命题的序号是________． 3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝－x2，则f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))的值等于(　　)A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,5) 4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________． 5、（1）; （2） （3）若设 . 6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积． 7．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式. 8.设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点. 9.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值. （1）证明：；（2）求的解析式； （3）求在上的解析式. 10.已知，（1）判断的奇偶性；（2）证明： 11、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。 12．（重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。 复习题： 已知数列，其前项和为，点在抛物线上；各项都为