函数的周期性对称性.doc

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资料 . 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。 ①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b| 性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b| 性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b| 3.函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。 1、 图象关于直线对称 推论1: 的图象关于直线对称 推论2、 的图象关于直线对称 推论3、 的图象关于直线对称 2、 的图象关于点对称 推论1、 的图象关于点对称 推论2、 的图象关于点对称 推论3、 的图象关于点对称 例题分析: 1.设是上的奇函数,,当时,,则等于 ( ) (A)0.5 (B) (C)1.5 (D) 2、(山东)已知定义在上的奇函数满足,则的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.设是定义在上的奇函数,求 4.函数对于任意实数满足条件,若,则___ 5.已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。 (1)求的值;(2)证明是周期函数; (3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。 6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. 巩固练习: 1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在[-1,3]上的解集为(  ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1-x,则:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-3. 其中所有正确命题的序号是________. 3.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))时,f(x)=-x2,则f(3)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)))的值等于(  )A.-eq \f(1,2) B.-eq \f(1,3)C.-eq \f(1,4) D.-eq \f(1,5) 4.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________. 5、(1); (2) (3)若设 . 6.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(3)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积. 7.设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式. 8.设函数对任意实数满足, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点. 9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值. (1)证明:;(2)求的解析式; (3)求在上的解析式. 10.已知,(1)判断的奇偶性;(2)证明: 11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。 12.(重庆文)已知定义域为的函数是奇函数。 (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。 复习题: 已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为

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