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初一数学竞赛讲座 第5讲 与年号有关的竞赛题 　　在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。这类题趣味性强，时间性强，引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣。 　　“年号题”一般可分成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。下面我们分别举例说明这两类问题的解法。 一、题目条件中出现年号的问题 　　1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。 　　例1 将19到80的两位数顺次排成数A7980。问：这个数A能否被1980整除？ 　　解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。能被20整除是显然的。因为99除100的任何次方所得的余数都是1，所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80 　　除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同。因为99|B，所以99|A。于是A能被1980整除。 　　例2 用S（n）表示自然数n的各位数字之和，又n+S（n）=1999，求自然数n。 　　 　　11x+2y＝89。 　　注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。 　　例3 在3×3的九宫格中，填上 9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P。试确定P能取1996，1997， 1998，1999，2000，2001这6个数中的哪些值。 　　解：所填的9个数应为P的9个不同约数，又P不能填入九宫格内，故P的不同约数的个数应不小于10。1996=22×499，有6个约数； 　　1997和1999是质数，各有2个约数；1998=2×33×37，有16个约数； 　　2000=24×53，有20个约数；2001=3×23×29，有8个约数。 　　显然P不能取1996，1997，1999和2001。当P=1998和2000时，有下图的填法（填法不唯一），故P可取1998和2000。 　　例4 有1999块边长为1的正方块，求满足下述条件的有盖箱子的尺寸： 　　（1）长、宽、高均大于1； 　　（2）将正方块放入箱子中时，能合上盖子，并且使空隙最小； 　　（3）在保证（1）（2）的前提下，使箱子的表面积最小。 　　解：由于1999是质数且2000=24×53，故空隙最小的箱子的体积应是2000。 　　表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体。将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是：2000＝10×10×20， 　　所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10，10，20。 2．题目中的年号数是可以换成任意的自然数n的，它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n。对于这种情况要善于透过表面看本质，做过后要将特殊推广到一般。 例5若两个不相等的自然数的倒数的和的一半等于，求这两个自然数。 　　解：设这两个自然数为x，y，且x＞y。 　　 比较①②两式，取n=1999，有2x=1999×2000，2y=1999+1， 于是x=1999000，y=1000。 　　例6 有一张1949×2000的长方形方格纸，方格边长为1。问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？ 　　解：由于1949与2000是互质数，故对角线在长方形内不经过任何一个格点。 　　对角线与纵向的1950条线有1950个交点，与横向的2001条线有2001个交点。去掉重复计算的对角线两个端点，它与纵横线共有1950+2001-2=3949（个）交点，交点间有3948条线段，即对角线穿过3948个小方格。 　　例7 有两个容器A和B，A中装有1升水，B是空的。先将容器A中的水的倒入容器B，然后将容器B中的水的倒入容器A，再将容器A中的水的倒入容器B…如此继续，这样倒了1999次以后，A中还有水多少升？ 解：设an和bn分别表示倒了n次以后A中和B中水的升数，显然an+bn=1。 列表观察如下： 　　 　　 　　说明：如果求倒了2000次以后，A中还剩多少水，那么可进一步计算如下： 　　 　　例8 从自然数列1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，保留5的倍数（例如15，20都不划去），将剩下的数依次写成数列A1＝1，A2＝2，A3＝5，A4=7，…求A2000。 解：3，4，5的最小公倍数是60，在连续的60个自然数中，3的倍数有60÷3=20（个），4的倍数有60÷4=15（个），12的倍数有60÷12=5（个），15的倍数有60÷15=4（个）， 20的倍数有60÷20=3（个），60的倍数有1个。 于是由容斥原理得到，连续60个自然数中，按题设要求划去各数