小学奥数《容斥原理》同步语音.ppt

容斥原理（第一讲） 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 15+12-4=23（人） 数学 语文 15 4 12 数学和语文 容斥原理 上题中语文满分人数是12，数学满分人数是15，一门满分的人数应该是27，但我们重复计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减去4，答案就是23 结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类或B类事物个数= A类事物个数+ B类事物 个数—既是A类又是B类的事物个数。 5、全班有50人，不会骑车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有5人。问：两样都不会的有多少人？ 50-5=45人 23+35-45=15人 6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有多少人？ 27+18-10=35人 48-35=13人 容斥原理（第二讲） 某校六（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？ 25+22+34 -12-18-14+8=45人 足球 排球 游泳 如果我们用这七个字母分别代表各字母所在区域的学生人数，那么根据题意，我们有以下七条等式：(1) A+D+E+G =25；(2) B+D+F+G =34；(3) C+E+F+G = 22；(4) D+G =18； (5) E+G =12；(6) F+G =14；(7) G = 8。现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？。如何利用以上资料求得答案？我们利用等式的性质来试试看. 把头三条等式加起来，我们得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81。可是这结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。由于等式(4)－(6)各有一个D、E和F，若从上述结果减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，得A+B+C+D+E+F = 37。可是这么一来，本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 45，即该班共有45名学生。 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？ 25+18+20-8-13-6+3=39人 例2、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人 分析与解：根据题意画图。 例3. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程： 整理后得： 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。 例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画图。 设三科都得满分者为x 全班人数 整理后：全班人数＝39＋x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当