二次函数典型例题——动点.doc

二次函数典型例题——动点 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线y=x－1交于A（－1，a）、B（b，０）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）点是x轴上的一个动点．过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N．当点M位于点N的上方时，直接写出t的取值范围． 解：（1）∵ 抛物线过原点和A()， ∴ 抛物线对称轴为. ∴ B(). 设抛物线的解析式为. ∵ 抛物线经过(0, 0), ∴ 0=3a+3. ∴ a=-1. ∴ ……………………………………………1分 = ∵ C为AB的中点, A()、B()， 可得 C() . 可得直线OC的解析式为. ……………………………………………2分 （2）连结OB. 依题意点E为抛物线与直线的交点（点E与点O不重合）. 由 解得 或（不合题意，舍）. ∴ E（） …………………………3分 过E作EF⊥y轴于F, 可得OF=， ∵ OE=DE，EF⊥y轴， ∴ OF=DF. ∴ DO=2OF=. ∴ D(0, . ………………………………………………………………………4分 ∴ BD=. ……………………………………………5分 （3）E点的坐标为()或(). ……………………………………………8分 已知：抛物线：与抛物线关于原点对称，抛物线与x轴分别交于A（1,0），B（m,0）,顶点为M，抛物线与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N． （1）求m的值； （2）求抛物线的解析式； （3）若抛物线与抛物线同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为，当点与点重合时运动停止．在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t（秒）的值，若不能，说明理由． （1）∵抛物线过点 A（1,0） ∴ …………………………………1分 ∴ ∴抛物线的解析式为 ∴ 令，则 解这个方程，得 ∴ ……………………………………2分 （2）由题意，抛物线过点C（-3,0）,D（-1,0）,N（-2，-2） ∴抛物线的解析式为 …………3分 （3）过点作⊥x轴于点H， …………………………………4分 若四边形是矩形，则 由题意，设，，则H ………………5分 在Rt△中， ∴ …………………………………6分 解得 ∴秒时，四边形是矩形．………………………………7分 如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。 （1）求直线AC的解析式； （2）用含t的代数式表示点D,点E的坐标； （3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求经过O、D、E三点的抛物线的解析式(只需求出一条即可). 解：（1）根据题意，得CO=AB=BC?tan∠ACB=4， ∴A（0，3），C（4，0）. 设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标， 得：4k+3=0，k=. ∴直线AC：y=x+3. （2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H， 则有△ADF∽△DCH∽△ACO. ∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC， 而AD=3t（其中0≤t≤），OC=AB=4，AC=5， ∴FD=，AF=，DH=，HC=. ∴D（，）. ∵CE= t, ∴OE=OC-CE=4- t. ∴E（4-t，0） （3）当DO⊥DE时， ∠DOH=∠EDH . ∵tan∠DOH=tan∠EDH， ∴ 即 ∵DH=，OH=FD=，EH=CH－CE=， ∴（）2=（）· . 即：19t2－34t+15=0 . t1=1， t2= . ①当t=1时， D（）， E（3，0）. 设抛物线解析式为y=ax2+bx， 代入D、E坐标 解得 a=，b= . ∴y= . ②当t=时，同理可得 y= . 以上①、②解出一种即可. 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为， （其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC