圆柱坐标系球坐标系直角坐标系3标量场的梯度.PPT

2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 第一课 第一课 第一课 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1. 直角坐标系 2. 圆柱坐标系 4. 坐标单位矢量之间的关系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 3. 斯托克斯定理 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 4. 散度和旋度的区别 1. 矢量场的源 散度源： 旋度源： 是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正 比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的体密度 等于（或正比于）矢量场在该点的散度； 是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等 于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定上， 这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。 2. 矢量场按源的分类 （1）无旋场 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 （2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即 性质： 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 （3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） （4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 无旋场部分 无散场部分 1. 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念： —— 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式： 圆柱坐标系 球坐标系 第1章 矢量分析 电磁场与电磁波 1. 标量和矢量 矢量的大小或模： 矢量的单位矢量： 标量： 矢量的代数表示： 矢量： 矢量的几何表示： 注意： 矢量的几何表示 常矢量： 一个只用大小描述的物理量。 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 一个矢量可用一条有方向的线段来表示 大小和方向均不变的矢量。 单位矢量不一定是常矢量。 矢量用坐标分量表示 z x y （1）矢量的加减法 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 交换律 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） ——矢量的标积符合交换律 q 矢量 与 的夹角 （4）矢量的矢积（叉积） q sin AB q 矢量 与 的叉积 坐标分量表示 行列式形式为 若 ，则 若 ，则 （5）矢量的混合运算 —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积 三种常用的正交曲线坐标系 三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 正交曲线坐标系 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 点 P(x0,y0,z0) 0 y y = （平面） o x y z 0 x x = （平面） 0 z z = （平面） P 直角坐标系 x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元 圆柱坐标系 （半平面） （圆柱面） （平面） 3. 球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系中的线元、面元和体积元 球坐标系 （半平面） （圆锥面） （球面） 直角坐标与 圆柱坐标系 圆柱坐标与 球坐标系 直角坐标与 球坐标系 o f x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 f o q r z 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 q q 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场 静态标量场和矢量场可分别表示为： 标量场的等值面 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 等值面方程： 常数C 取一