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可分离变量的微分方程 第二节 一阶微分方程的一般形式： （变量 与 对称） 若将 看作未知函数，则有 若将 看作未知函数，则有 对称形式： 讨论一阶微分方程的解法 一、可分离变量的微分方程 均可化为(1)的形式. 例如： 形如： 或 问题： 对方程两边积分： 设 及 依次为 及 的原函数， 可分离变量方程的解法—分离变量法： 由于关系式(2)含有任意常数，故称为 （隐式）通解. 称为微分方程(1)的（隐式）解。 于是有 将方程分离变量： 例1 求解微分方程 解 分离变量： 两端积分 也是解， 可与通解 合并为 例2 求解微分方程 解 分离变量： 两端积分： 满足初始 条件 的特解. 解 由题设条件，有 (1) 建立微分方程和定解条件： 初值问题 衰变规律 分离变量 两边积分 （2）解微分方程： 利用死亡生物体内放射性同位素碳14 的衰变规律，推测生物体的死亡 时间，用于考古、刑侦等方面. 放射性物质都具有类似的衰变规律： 假设某人每天的饮食可产生 热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热 量为 ，用于锻炼所消耗的热量为 为简单计，假定增加（或减少）体重所需热量 全由脂肪提供，脂肪的含热量为 求此人体重随时间的变化规律. 例4（减肥问题） 解（1）建立微分方程与定解条件： 设t 时刻（d）的体重为 根据热量平衡原理，在dt 时间内， 人的热量的改变量＝吸收的热量－消耗的热量 因此得 则得方程 设开始减肥时刻为 于是初值条件为 （2）解微分方程： 初值问题 分离变量 两边积分 得通解为 代入初值条件可得特解为 （3）由上面的结果易得如下结论： 随时间的增加，趋于常数 节制饮食 调节新陈代谢 可以达到理想体重 饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦 危险！ 只吃饭、不锻炼 身体越来越胖 危险！ 要达到理想体重，或者限时减肥或增肥， 的合适组合. 都可设计出 小 结 一、可分离变量微分方程 解法 然后两端积分. 将不同的变量写在等式的两端， 分离变量： 二、微分方程的简单应用 用微分方程解决实际问题的一般步骤： 1.建立微分方程和定解条件； 2.根据方程的类型，用相应的方法求出通解， 并根据定解条件确定特解; 3.对所得结果进行具体分析，解释它的实际 意义.如果与实际相差甚远，那么就应修改 模型，重新计算. 数学模型 思考题 下列微分方程是否为可分离变量方程? 不是 是 是