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全等三角形培优竞赛训练题
1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.
你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
FBA
F
B
A
C
E
图3
D
F
B
A
D
C
E
G
图2
F
B
A
D
C
E
G
图1
2、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
3、已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
A
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
4、在中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交
于两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;
A
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
(2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求的长.
5、如图9,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;(4分)
(2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.(6分)
图9 图10 图11
图9 图10 图11
图8
6、点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点E,BM,CN交于点F。求证:
(1)AN=MB.
(2)△CEF为等边三角形。
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(只回答不证明),
(4)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明)。
7、问题:已知中,,点是内的一点,且,.探究与度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当时,依问题中的条件补全右图.
观察图形,与得数量关系为________;
当退出时,可进一步推出的度数为_______; 可得到与度数的比值为_________.
(2)当时,请你画出图形,研究与度数的比值是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
8、直线CD经过的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且.
(1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若,则 (填“”,“”或“”号);
②如图2,若,若使①中的结论仍然成立,则 与 应满足的关系是 ;
(2)如图3,若直线CD经过的外部,,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明.
A
A
B
C
E
F
D
D
A
B
C
E
F
A
D
F
C
E
B
图1
图2
图3
9、(1) 如图1,在正方形ABCD中,
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