立体几何平行垂直问题专题复习.doc

WORD格式..可编辑 PAGE 专业知识 整理分享 立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1． 直线与平面平行的判定与性质 定义 判定定理 性质 性质定理 图形 条件 a∥α 结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∥β，a?β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且△为正三角形。（Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）若，，求三棱锥的体积。 ABCA1B1C1MN例2. 如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点. A B C A1 B1 C1 M N （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。 （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）设，求三棱锥的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 例4、如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证：； （II）求三棱锥C—DEG的体积； （III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。 【变式2】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2. (Ⅰ)求证：AC平面BB1C1C；(Ⅱ) A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论. 4 4 4 2 2 4 4 4 正视图 侧视图 俯视图 三、三视图与折叠问题 例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 若为的中点，求证：面； 证明：∥面； 求三棱锥的体积。 A A B E P D C 例6.已知四边形是等腰梯形，（如图1）。现将沿折起，使得（如图2），连结。 （I）求证：平面平面； （II）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成两部分的体积比； （ = 3 \* ROMAN III）在点满足（II）的情况下，判断直线是否平行于平面，并说明理由。 图1 图1 图2 【变式3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示，E为PD中点. （I）求证：PB//平面AEC；（II）求四棱锥的体积； （Ⅲ）若F为侧棱PA上一点，且，则为何值时，平面BDF. 【变式4】如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2） （1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥C-DEF的体积。 四、立体几何中的最值问题 例7.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A= AB=2. (1)求证: BC⊥平面A1AC； (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值. 图 图4 A B C A1 例8. 如图，在交AC于 点D,现将 （1）当棱锥的体积最大时，求PA的长； （2）若点P为AB的中点，E为 【变式5】如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值。 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题（答案） 【典例探究】 例1解：（