函数的最大值与最小值.ppt

1.3.1 单调性与最大（小）值 第三课时 函数的最值 问题提出 1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？ 2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？ 知识探究（一） 观察下列两个函数的图象： 图1 o x0 x M y 思考1:这两个函数图象有何共同特征？ y x o x0 图2 M A B 第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最高点 思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系? 函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小. 思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值 思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? f(x) ≤M 思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x)的最大值是2吗?为什么? 思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能给出函数最大值的定义，用什么符号表示？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 , 都有 ； （2）存在 ，使得 . 那么称M是函数 的最大值，记作 思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M，这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M。 思考8：函数最大值的几何意义是什么？ 函数图象最高点的纵坐标。 思考9:函数 有最大 值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？ 思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？ 讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。 图1 y o x0 x m 知识探究（二） 观察下列两个函数的图象： x y o x0 图2 m 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的 , 都有 ; （2）存在 ，使得 . 那么称m是函数 的最小值，记作 函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。 讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。 知识探究（三） 思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2， 使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？ 思考2:如果函数 存在最大值，那么有几个？ 思考3:如果函数 的最大值是b，最小值是a， 那么函数 的值域是[a，b]吗？ 理论迁移 例1已知函数 ，求函数 的最大值和最小值. 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论： ①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b). ②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b). ③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a). 1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂, 如果烟花 距地面的 高度h m与时间t s之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m） 2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 1