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九年级数学专题讲座 求图形的面积的方法： 一、直接运用公式法 二、和差法 三、转移法 四、代数法 【例1】如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90o的扇形ABC，求： （1）被剪掉（阴影）部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？ 分析：阴影部分的面积是用圆的面积减去一个圆心角为90o的扇形的面积，关键是求扇形ABC的半径，而扇形ABC的弧长实际上就是圆锥底面的周长。 解：1、连接BC,∵∠A=90o ∴弦BC为⊙O的直径。 ∴AB=AC=BCsin45o 2、设圆锥底面的半径为r，则弧BC的长为2 r， 即： 【例2】如图，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G． （1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？ （2）求由DG、GE和弧ED围成图形的面积（阴影部分）． 1、答：∠BFG＝∠BGF 连OD， ∵OD＝OF（⊙O的半径）， ∴∠ODF＝∠OFD ∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC 又∵∠C＝90°，即GC⊥AC，OD∥GC∴∠BGF＝∠ODF 又∵∠BFG＝∠OFD，∴∠BFG＝∠BGF 2、解：连OE，则ODCE为正方形且边长为3 ∵∠BFG＝∠BGF ∴阴影部分的面积 ＝△DCG的面积－(正方形ODCE的面积－扇形ODE的面积) ∴ 【例3】如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交 于P，求 与半圆弧及MP围成的阴影部分面积 。 分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式。 连结OP。 解：连结OP∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP ⊥ OB 又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2 ∴∠1＝60o。 设PM交半圆M于Q，则直角 扇形BMQ的面积为： 【例4】如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦,与大圆的直径平行，与小半圆相切，且AB=24，问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由． ， ， 解：能（或能求出阴影部分的面积）． 设大圆与小圆的半径分别为R,r,平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合（如图） 【例5】如图，半圆的直径AB=2,弦CD∥AB,连AC.AD,∠CAD=30o,求阴影部分的面积。 略解：连接OC.OD 分析：所求阴影部分是非常规 图形，可转化为常规图形来解决． ∠COD=60o 【例6】如图，边长为２的正方形，以每条边为直径在正方形内作半圆，求阴影部分的面积． 分析：把阴影部分分为８个弓形的面积计算，可求．但比较复杂，运用代数法求解，让我们来感受它的方便． x y 解：设如图阴影部分面积为x， 空白部分面积为y. 由题意可得： 1.已知，在Rt⊿ABC中，∠A=45o,以AC为直径的O交斜边AB于D，AC=2a求 弧BC.BD.和BC所围成的图形的面积。 2.如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60o，求阴影部分的周长和面积。 布置作业：综合练习册第154-155页 结束寄语 不经历风雨， 怎能见彩虹. 没有人能随随便便成功! ３.如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5. （1）若 ，求CD的长； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留 ） 解：（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 【例6】如图，扇形OAB的圆心角为90o，分别OA.OB为直径在扇形内作半圆P.Q和分别表示阴影部分的面积试比较P和Q的大小关系。 分析：阴影部分P.Q的面积直接求出 十分困难， 可利用代数法进行解决。 解：设：扇形的半径为2a,则： ∴P=Q