Ch2二阶线性PDE分类与标准型.PPT

记 A 的两个实特征值 ，则有 对于双曲型方程， 异号， 不定且非退化；抛物型方程， 有且仅有一个为0， 退化；椭圆型方程， 同号， 正定或负定。 记 ，类似于两个自变量的情形，有如下分类： 1) 二次型 在点 处为非退化且不定(即 A 的特征值全非零且不同号)，则称方程(2.1)在 处为超双曲型的。 特别地，若二次型 的正惯性指数或负惯性指数为 n-1(即 A 的特征值中有 n-1 个同号)则称方程(2.1)在 处为双曲型的。 2) 二次型 在点 处为退化二次型(即 A 至少有一个特征值为零)，则称方程(2.1)在 处为超抛物型的。 特别地，若二次型 的正惯性指数或负惯性指数为 n-1(即 A 的特征值中有 n-1 个同号)则称方程(2.1)在 处为抛物型的。 3) 二次型 在点 处为正定或负定(即 A 的特征值全号)，则称方程(2.1)在 处为超椭圆型的。 例1. Laplace方程 相应的二次型为 正定，其矩阵特征值为1，1，1，因此为椭圆型方程。 声波方程 相应的二次型为 既非退化也非正定或负定，其矩阵特征值为 ，因此为双曲型方程。 热传导方程 相应的二次型为 退化，其矩阵特征值为 ，因此为抛物型方程。 注 : 对拟线性偏微分方程，上述分类方法仍适用。 例如，考虑方程 A 的特征值为 。 故当 xu0 时，方程为椭圆型；当 xu=0 时，方程为抛物型；当 xu0 时，方程为双曲型。 其系数矩阵为 2.2 常系数的多个自变量的方程化简 当方程(2.1)的系数 都为常数时，则 为 n 阶实对称非零矩阵。作自变量的非奇异线性变换(化对称矩阵为对角形的方法，如正交变换法、配方法、初等变换法)，得 , 使 其中 即取非奇异变换 则(2.1)可化为标准形式 当 p = 1,q = n-1时，得双曲型方程的标准形式 当 p = n-1,q = 0时，得抛物型方程的标准形式 当 p = n,q = 0 时，得椭圆型方程的标准形式 例2. 判别方程 的类型,并将其化为标准型。 解：法一（正交变换法）.方程对应的二次型的系数矩阵为 思路：先求正交阵B,使 为对角阵；再作变换 即 即可化原方程为标准型。 直接计算，得 故 A 的特征值为 方程为抛物型。 与 对应的特征向量为 它们两两正交，再进行单位化，即得正交矩阵 则由变换 原方程化为 进一步，令 则 原方程可进一步化为 所用变换为 法二（初等变换法）: B 其中 解: 原方程可化为 故由变换 即 例3. 化 为标准型。 解：法一（配方法）。 相应于方程的二次型为 其中 即 则 合并含 x的项 故令 合并含 y的项 二次型可化为 进而方程化为 为双曲型。 进一步，令 原方程可进一步化为 所用变换为 法二（初等变换法） B 例4. 化 为标准型。 解：（初等变换法） B 原方程可化为 即变换为 则 注：通过非奇异线性变换将二阶导数项的系数矩阵化为对角形时，必须注意的是该变换同样作用于一阶导数项。 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ 使用时，直接删除本页！ 精品课件，你值得拥有！ 精品课件，你值得拥有！ 作业 习题一（书P.41 ） 第1(1,3),2(2,4),3(1), 5(1,3),8(1,2) 题 Ch2 Classification of second-order equations 两个变量的二阶PDE分类 多变量方程分类 1.1 引言 二阶线性 PDE 一般形式: 当 n=2 时可以写成 其中