哈工大信号与系统课件.ppt

* ⑤ 解： (二重共轭) 2．特解（强迫响应）：由激励形式和特征根情况共同决定 ①将激励代入微分方程右端，化简得自由项（t0时） ②根据自由项形式与特征根情况设特解 。见特解表 为什么要考虑特征根情况? 注： 为 次多项式； 为s次多项式； ； 为 次多项式； ， 为 l 次多项式。 ③确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数 [例4]：求下列微分方程在不同激励下的特解 ① 自由项= ，0不是特征根， = 代入左端令对应系数相等可得： B0=0.5, B1=-0.5, B2=0.5 特征根： 解： i) ii) 自由项= , t0时为0，故特解 = 0 iii) ，代入左端令对应系数相等可得：B=1 自由项= ，t0时为 ，-2为1重特征根 iv) t0 时自由项= ，1不是特征根， 代入左端令对应系数相等可得：B=1/3 代入左端令对应系数相等可得： = t0 时自由项= ，-1为1重特征根， v) [例4]：求下列微分方程的特解 ② i) iii) ii) 解： (一重共轭) 特征根： t0时自由项= ， 为1重特征根， 代入左端令对应系数相等可得：B1=0,B2=0.5 =t(B1 +B2 )， i) 代入左端令对应系数相等可得： t0时自由项= ， 不是特征根， = (B1 +B2 )， t0时自由项= ，-1不是特征根， =B 代入左端令对应系数相等可得：B=0.2 ii) iii) [例4]：求下列微分方程的特解 ③ i) ii) iii) 解： (一重共轭) 特征根： i) t0时自由项= ， 不为特征根， =B1 +B2 B1=0,B2=0.5 iii) t0时自由项= ，-1不是特征根， =B ii) t0时自由项= ， 为1重特征根， = t (B1 + B2 ) [例4]：求下列微分方程的特解 ④ i) ii) iii) 解： (二重) 特征根： 解： i) t0时自由项= ，-1是2重特征根， =Bt2 ii) t0时自由项= t ，-1是2重特征根， = t2(B1t+B2) iii) t0时自由项= ，-1是2重特征根， = t2(B0t2+B1t+B2) ① 写出完全解： 其中 ii)初始条件 iii)设n个特征根 互不相同，则 将初始条件代入，可得如下方程组： 3．完全解 有n个待定系数 ② 待定系数由初始条件确定 注意两种描述： 起始状态0-， 初始条件0+ 为待求系数 i)求解区间 激励t=0时刻加入 0+状态 见P47 其中： 为范德蒙矩阵，一定可逆，故： ③若不给定初始条件，怎么由起始状态确定 ii)已知电路图，由 求 一般不跳变的含义？ 的原理是： 电容电压，电感电流一般不跳变 iii)已知微分方程与激励，由 求 冲激函数匹配法和目测法 的方法是： i)起始状态：系统在加入激励前的瞬间的一组状态，即 0-状态 [例5]：已知电路图，t=0时刻开关S从1打向2，求i(t) vc(t) R2=1.5Ω C=1F L=0.25H + _ + _ e(t)=2V + _ S 1 2 ic(t) iL(t) R1=1Ω i(t) e(t)=4V ①由元件约束、网络拓扑约束列写微分方程(S拨至2列写) ②由特征根写出齐次解形式 i)特征方程： ， ii)齐次解形式： 解： ④求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式： ii)求换路前的起始状态 i) t0时自由项=4×4 ii)0不是特征根，设特解为 ③求特解 iii)代入方程解得B=8/5 iii)求换路后的初始条件 电感电流不跳变： 电容电压不跳变： iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数 故： (t0) [例6]：已知： ， ， 求完全响应。 i)特征方程： ii)齐次解形式： i) t0时自由项=16 iii)代入方程左边解得：B=8/5 解： ①由特征根写出齐次解形式 ②求特解 特征根： ii)0不是特征根，设特解为： ③求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式： ii)冲激函数匹配法求跳变值：根据t=0时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等 系统用微分方程表示时，系统地0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程的右端自由项是否包含 及其高阶导数。有则跳变。 设 的含义? 代入方程左端，令左右两端的奇异函数平衡，得 表示0-到0+相对跳变函数 考虑换路时情况，即t=0时刻e(t)有2 u(t) 变化，得 在 iii)计算初始条件 iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数 故： (t0) [例7]：目测法求跳变值 ① ② ①右边 ，为此 必须出现 即 在0处有1的跳变。假设 有跳变，则