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§3.1.1 指数(第1—2课时)
第一课时
复习提问:
什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
归纳:在初中的时候我们已经知道:若,则叫做a的平方根.同理,若,则叫做a的立方根.
根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2;零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念,归纳出n次方根的概念.
n次方根:一般地,若,则x叫做a的n次方根(throot),其中n >1,且n∈N*,当n为偶数时,a的n次方根中,正数用表示,如果是负数,用表示,叫做根式.n为奇数时,a的n次方根用符号表示,其中n称为根指数,a为被开方数.
类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?
零的n次方根为零,记为
举例:16的4次方根为,等等,而的4次方根不存在.
小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和偶数两种情况.
根据n次方根的意义,可得:
肯定成立,表示an的n次方根,等式一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么?
通过探究得到:n为奇数,
n为偶数,
如
小结:当n为偶数时,化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误:
例题:求下列各式的值
(1)
分析:当n为偶数时,应先写,然后再去绝对值.
思考:是否成立,举例说明.
课堂练习:1. 求出下列各式的值
2.若.
3.计算
三.归纳小结:
1.根式的概念:若n>1且,则
为偶数时,;
2.掌握两个公式:
第二课时
提问:
1.初中时的整数指数幂,运算性质?
什么叫实数? (有理数,无理数统称实数.)
2.观察以下式子,并总结出规律:>0
① ②
③ ④
小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式).
根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
即:
为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即:
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)
(2)
(3)
若>0,P是一个无理数,则P该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P62——P62.
即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示)
所以,是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考:的含义是什么?
由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
3.例题
(1).(P60,例2)求值
解:①
②
③
④
(2).用分数指数幂的形式表或下列各式(>0)
解:
分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.
补充练习:
1. 计算:的结果
2. 若
第三课时
一.教学设想:
1.复习分数指数幂的概念与其性质
2.例题讲解
例1.计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)
(2)
(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答)
分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到(1)小题是单项式的乘除运算;(2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何计算呢?
其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行.
第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.
例2.计算下列各式
(1)
(2)>0)
分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也
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