高考数列通项公式与求和数列与不等式综合题数学归纳法.doc

. PAGE .. 递推数列题型总结 类型1 用累加法 例. 已知数列满足，，求。 类型2 用累乘法 例1:已知数列满足，，求。例2:已知， ，求。 类型3 （其中p，q均为常数，）。 用待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________ 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例:已知数列中，,，求。 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 例:已知数列中，,,，求。 变式: 1.已知数列满足 （II）求数列的通项公式； 2.已知数列中，,,，求 3.已知数列中，是其前项和，并且， ⑴设数列，求证：数列是等比数列； ⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。 类型6 递推公式为与的关系式。(或) 例：已知数列前n项和. （1）求与的关系；（2）求通项公式. 应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 变式: 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式. 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。 例:设数列：，求. 变式:已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列 (Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由. 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛｝中，，求数列 变式:已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例：1、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列{}满足时，，求通项公式 4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a． 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 变式:数列记 （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和 类型11 或 解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。 例：（I）在数列中，，求 （II）在数列中，，求 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法 设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式 类型13双数列型 解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,. 类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例：若数列满足，若，则的值为___________。 结论：（1）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。 若等差数列、的前和分别为、，且，则. 【例】设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：） （3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗 如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项， ，则使前n项和成立的